◇ 福建 陈美兰

(作者单位：福建省漳平第一中学)



看问题抓本质
———解答绝对值不等式

◇ 福建 陈美兰

高考对绝对值不等式的考查方式主要有与函数结合在一起考查绝对值的几何意义、绝对值不等式的解法．解含有绝对值的不等式的基本思想就是去绝对值,只要把握住这一核心,就可以将新问题转化为熟悉的问题.

1 问题展示

(1) 解不等式f(x)≥5;

(2)f(x)-a≥0对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围;

(3) 若不等式f(x)≤ax的解集非空,求实数a的取值范围.

去绝对值符号的方法有多种,如定义法、利用绝对值的几何意义、平方法、零点分区间讨论法、等价转化法等．去掉绝对值符号时,要注意“转化”过程中的等价性．

对于含有绝对值的函数最值问题,可以通过去掉绝对值转化为分段函数,利用函数图象求其最值.另外如果含有2个以上的绝对值,也可以联想绝对值三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|．

2 多法探究

综上,原不等式的解集为(-∞,-3]∪[2,+∞).

方法2

图1

由-2x-1=5,得x=-3,由2x+1=5,得x=2,原不等式解集为(-∞,-3]∪[2,+∞).

(2) 方法1 从f(x)的图象上来看,fmin(x)=3,要使得f(x)-a≥0,对任意x∈R恒成立,应该有a≤3．

方法2 由绝对值三角不等式得

|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x+2)|=3,

所以fmin(x)=3,要使得f(x)-a≥0对任意x∈R恒成立,应该有a≤3．

图2

(3) 在同一个坐标系中作出函数y=ax当a取不同值时的图象,如图2所示.由图可知,当且仅当a≤-3/2或a>2时,函数y=f(x)与y=ax的图象有交点,此时不等式f(x)≤ax的解集非空．所以a的取值范围是(-∞,-3/2]∪[2,+∞)．

第(1)问方法1是利用绝对值的意义去绝对值；方法2是应用函数的观点认识不等式问题,数形结合求解是突破口．

第(2)问方法1的观点是化为分段函数,画出分段函数的图象,从图象上观察最值；方……