肖维松

本文现将人教版八年级（下）中的一道习题及其逆命题在中考中的应用介绍如下，供初中师生教与学时参考.

题目如图1，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？你还可以画出一些与△ABC面积相等的三角形吗？

解因为l1∥l2，所以S△ABC=S△DBC（同底等高的三角形面积相等）.还可以画出与△ABC面积相等的三角形若干个，只要同底BC，第三个顶点在l1上即可.

认真研究本题可以得到以下两个命题：

命题如图1，若直线l1∥l2，则S△ABC=S△DBC；

逆命题如图2，若S△ABC=S△DBC，则有直线l1∥l2.

这个命题及其逆命题，我们暂称为梯形的两个结论：

（1）平行结论：若AD∥BC，则有S△ABC=S△BDC，S△ABD=S△ADC，所以S△AOB=S△COD.

（2）面积结论：若S△AOB=S△COD，所以S△ABC=S△BDC，S△ABD=S△ADC，则有AD∥BC（进而得到一系列的相似）.接下来，我们举例说明上述两个结论在解题中的应用.

1平行结论的应用

例1（2015年天水市）如图3，已知四边形ABCD是平行四边形，E是BC上一点.如果△DEC的面积是2015cm2，求△BEF的面积.

解要求S△BEF，如果想求出底边及底边上的高是很困难的，但根据已知条件可知图中有两个梯形：即梯形AECD和梯形ACFB，故只要连结AC后，结合平行结论可得S△AEC=S△DEC，S△AEC=S△BEF，从而由等量关系的传递性可求得S△BEF=S△DEC=2015cm

例2（2010年南宁市）已知正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图4所示.点G在线段DK上，且G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（）.

解连结BD、GE、FK.因为ABCD、BEFG和RKPF都是正方形，所以BD∥GE∥FK，故由平行结论知，S△DGE=S△BGE，S△GEK=S△GEF，因此S△DEK=S△DGE+S△GEK=S△BGE+S△GEF=S正方形BEFG=16.

例3（2013年宜春市）如图5所示，长方形ABCD中，AC与BE相交于F，三角形BCF的面积是12，三角形CEF的面积为8，求四边形ADEF的面积.

解连接AE，因为ABCD为长方形，所以AECB是梯形.故由平行结论知，S△AEF=S△BCF=12，而S△AEF∶S△CEF=AF∶FC（因为两三角形等高）=12∶8=3∶2，又S△ABF∶S△BCF=S△ABF∶12=AF∶FC（因为两三角形等高）=3∶2，故S△ABF=18，从而S四边形ADEF=S△ADC-S△EFC=S△ABC-S△EFC=S△ABF+S△BCF-S△EFC=18+12-8=22.

例4（2013年泰州市）如图6，在平面直角坐标系中，直线y=x-2与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B（m，2）.