何 军，刘衍民

（遵义师范学院数学与计算科学学院，贵州遵义,563002）

自然科学研究

广义鞍点问题的块对角预条件子

何 军，刘衍民

（遵义师范学院数学与计算科学学院，贵州遵义,563002）

研究了广义鞍点问题新的块预条件子，给出了预处理后矩阵特征值的一些性质.数值例子表明，新的预条件子是非常有效的.

预处理；鞍点问题；特征值

考虑如下的鞍点系统：

在文献[1]中，Benzi、Golub和Liesen讨论了解决鞍点系统的一系列的数值方法，并且给出了一些预条件子来解决系统（1），如：块对角预条件子[2-8]，块三角预条件子[9,10]，HSS类型的预条件子[1,11,12].

其中 .可以发现，当D=0，文献[4,7,8]中介绍了非确定的块对角预条件子.

基于上面的分析,本文主要研究下面的正定的块对角预条件子：

1主要结果

考虑如下的预条件子：

展开（2）式有：

带入（4）式可得：

那么可得：

直接计算可得：

因为

有：

直接计算可得：

证明完毕.

注：所有的预处理后的矩阵的特征值都包含在两个狭窄的区间中，并且可以发现其中的一些界可以用文献[14]中的定理2.1来表示矩阵的界.但是，至少其中的一个界表现得更好，如正特征值的上界.

2 数值例子

考虑下面的Stokes类型问题：

如果用稳定有限元或者有限差分方法来离散上面的问题，可以得到广义的鞍点线性系统.本文用Silvester、Elman和Ramage编写的IFISS软件包[15]来离散系统，所采用的混合有限元是双线性速度一常数压力： 对有限元，得到系数矩阵的(1,1)块的矩阵是对称正定的，(1,2)块的矩阵是满秩的.例子中用32×32的网格来离散系统（也就是说，D≠0，且稳定系数为 =0.25），其中表示矩阵中非零元的个数.

表1 相关矩阵的规模及非零元的个数

表2 对不同的W,MINRES迭代的迭代步数

图1 当W=0.1I，对于32×32网络预处理后的矩阵P-1A的特征值分布情况

图2 当W=2diag(BBT)，对于32×32网络预处理后的矩阵P-1A的特征值分布情况

图3 对不同的W，32×32网络MINRES迭代的迭代曲线及步数

表1描述了不同网格鞍点问题的规模和稀疏情况，表2给出了不同矩阵WMINRES子空间迭代的迭代步数.

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[13]Ilse C F Ipsen.A note on preconditioning nonsymmetric matrices[J].SIAM J Sci Comput,2001,(23):1050-1051.

[14]D Silvester,A Wathen.Fast iterative solution of stabilized Stokes systems part II:using generalblock preconditioners[J]. SIAM J Numer Anal,1994,(31):1352-1367.

[15]H Elman,G H Golub.Inexact and preconditioned Uzawa algorithms for saddle point problems[J].SIAM J Numer Anal, 1994,(31):1645-1661.

（责任编辑：朱 彬）

Block Diagonal Pre-conditioners for Generalized Saddle Point Problems

HE Jun，LIU Yan-min
(School of Mathematics and Computer Science,Zunyi Normal College,Zunyi 563002,China)

In this paper,we consider block diagonal preconditioners for solving saddle point linear systems;we show properties of eigenvalues of the preconditioned matrix.Finally,numerical experiments are also reported for illustrating the efficiency of the presented preconditioners.

saddle point system;preconditioning;eigenvalue

O211.4

A

1009-3583（2016）-0111-03

2016-05-11

国家自然科学基金资助项目（71461027）；贵州省科学技术基金（黔科合基础[2016]1161）；遵义师范学院博士基金资助项目（遵师BS[2015]09）

何 军，男，四川资阳人，遵义师范学院数学与计算科学学院教师，博士，主要从事数值代数的研究。