何 军，刘衍民

（遵义师范学院数学与计算科学学院，贵州遵义,563002）

自然科学研究

广义鞍点问题的块对角预条件子

何 军，刘衍民

（遵义师范学院数学与计算科学学院，贵州遵义,563002）

研究了广义鞍点问题新的块预条件子，给出了预处理后矩阵特征值的一些性质.数值例子表明，新的预条件子是非常有效的.

预处理；鞍点问题；特征值

考虑如下的鞍点系统：

在文献[1]中，Benzi、Golub和Liesen讨论了解决鞍点系统的一系列的数值方法，并且给出了一些预条件子来解决系统（1），如：块对角预条件子[2-8]，块三角预条件子[9,10]，HSS类型的预条件子[1,11,12].

其中 .可以发现，当D=0，文献[4,7,8]中介绍了非确定的块对角预条件子.

基于上面的分析,本文主要研究下面的正定的块对角预条件子：

1主要结果

考虑如下的预条件子：

展开（2）式有：

带入（4）式可得：

那么可得：

直接计算可得：

因为

有：

直接计算可得：

证明完毕.

注：所有的预处理后的矩阵的特征值都包含在两个狭窄的区间中，并且可以发现其中的一些界可以用文献[14]中的定理2.1来表示矩阵的界.但是，至少其中的一个界表现得更好，如正特征值的上界.

2 数值例子

考虑下面的Stokes类型问题：

如果用稳定有限元或者有限差分方法来离散上面的问题，可以得到广义的鞍点线性系统.本文用Silvester、Elman和Ramage编写的IFISS软件包[15]来离散系统，所采用的混合有限元是双线性速度一常数压力： 对有限元，得到系数矩阵的(1,1)块的矩阵是对称正定的，(1,2)块的矩阵是满秩的.例子中用32×32的网格来离散系统（也就……