倪 飞，廖玉怀

（文山学院 数学学院，云南 文山 663099）

Vandermonde行列式应用初探

倪 飞，廖玉怀

（文山学院 数学学院，云南 文山 663099）

探讨Vandermonde行列式在多项式理论、特殊行列式计算、个别特殊矩阵、导数理论、常微分方程理论中的简单应用,同时将用构造性的思维方法，对一些复杂抽象的行列式计算问题，运用Vandermonde行列式的性质加以解答事半功倍。

Vandermonde；行列式；多项式；微分方程

1 引言

Vandermonde行列式是一类特殊的行列式，它有着独特的形式和简明的结果，因此Vandermonde行列式不仅在数学领域中占据着重要的地位，同时在各个领域中也有着广泛的应用，比如:在进行行列式计算和变换时，将问题适当的变形为可套用Vandermonde行列式解答的形式，可起到简化解题过程减少计算量的效果。

定义1.1[1]行列式

称行列式（1）为Vandermonde行列式。

2 Vandermonde行列式的简单应用

2.1 初等变换下的应用

在行列式计算过程中，有些较难运用行列式性质解答的行列式，可以利用各种方法将其转化成Vandermonde行列式，运用以上结果（1）进行解答。

例1[2]计算下列行列式

分析 容易观察得出1, 3, …, 2n-1列和第2, 4,…, 2n行交叉处构成的是Vandermonde行列式。同理2, 4, …, 2n列和第1, 3, …, 2n-1行交叉处同样构成Vandermonde行列式。

2.2 判断多项式整除关系上的应用

Vandermonde行列式在求解多项式根，多项式可约类问题都有一定的应用。

例2 设(xn+ xn-1+…+ x+1) | [ f1(xn+1)+xf2(xn+1)+…+ xn-1fn(xn+1)]，证明：(x-1)| fi(x), i=1, 2, 3, …, n。

分析 此题涉及证明多项式整除关系，同时给出了xn+ xn-1+…+ x+1，很容易联想到与多项式xn+1-1的n个非1单位根建立联系，若能推导得出fi(1)=0 (i=1, 2, …, n)即可证明结论。

2.3 与循环行列式计算建立的联系

Vandermonde行列式也可以和一类特殊的行列（循环行列式）式建立联系。……