江苏省苏州市吴江区盛泽小学　饶丽娟

“儿童数学”教学：基于“HPM”视角

江苏省苏州市吴江区盛泽小学饶丽娟

“数学史”应该而且必须成为儿童数学学习的指南。“HPM”视野下的“儿童数学”教学，首先要研究儿童，其次要研究数学。在融入“数学史”的儿童数学教学中，教师可以采用“链接式”移入、“附加式”切入和“发生式”融入等多种方式，让儿童掌握数学知识，感悟数学的思想方法。

“HPM”视角；儿童数学；数学史

“HPM”是1972年第二届国际数学教育（ICM）大会上成立的“数学史与数学教育国际关系研究小组”的简称（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics）。HPM关注的内容主要包括：数学与其他学科的关系、多元文化的数学、数学史与学生的认知发展、数学史与发生教学法、数学史与学生学习的困难、数学原始文献在教学中的应用等等。不难看出，“HPM组织”研究的重点就是“数学史”与“数学教学”的关系。那么，“数学史”如何走进“儿童数学”教学？“数学史”在“儿童数学”教学中有何意义？笔者在“儿童数学”教学实践中进行了积极的探索。

一、基于“HPM”视野“：“数学史”走入“儿童数学”的可能

由于“儿童数学”教材中的数学知识是“套装”的，它略去了人类“生命 实践”活动的鲜活历程，而且“儿童数学”中的知识展现也不是原生态的、发生式的。因此，在“儿童数学”教学中，教师必须对数学知识进行剪裁和加工，将“学术形态的数学”转化成“教育形态的数学”，将数学“冰冷的美丽”还原成“火热的思考”。例如，“时间尺的形成”、“三角板的来历”、“负数的诞生”、“用字母表示数的历程”，等等。这些知识的教学都要追溯历史的“源”、“流”。“HPM”视野下的数学教学能够激发儿童的学习兴趣，协同儿童的认知发展，培养儿童的数学精神和品格。

1.研究儿童

“历史是教学的指南”。“数学史”给“儿童数学”教学最重要的启示是：儿童学习知识的关键步子是人类探索数学的微型历史缩影。由此，数学教学要研究儿童，了解儿童的认知起点和结构状态，探索儿童的认知障碍，遵循儿童的认知规律。例如，“认识负数”，在小学阶段重要的不是让孩子比较负数的大小，而在于引领孩子体验负数是“表示具有相反意义的量”。否则，儿童同样会产生历史上数学家的困惑，感到“负数是荒谬的数”，是“不可思议的数”。

2.研究数学

“儿童数学”中的知识都有其诞生历程，教学中只有了解人类是如何获得知识的，才能对孩子如何获得知识做出理性判断。为此，必须把握数学知识的过程本质，洞悉儿童数学中蕴含的丰富而深刻的数学思想方法。例如，“乘法”是“表示几个相同加数的和的简便运算”，所以乘号“×”和加号“+”有着内在的关联。让孩子体验乘号“×”的合理性，体验符号“×”中蕴含的数学智慧是数学教学的应有之义。

二、基于“HPM”视野：“数学史”如何走进“儿童数学”

“数学史”如何走入“儿童数学”教学？根据笔者的教学实践，可以提供历史信息，即“链接式”移入；可以是对历史文化知识的发掘，即“附加式”切入；也可以是借鉴历史进行教学，即“发生式”融入。其中，“链接式”移入和“附加式”切入都是显性地运用“数学史”，而“发生式”融入则是隐性地运用数学史。

1.“链接式”移入：感受数学知识的文化意味

所谓“链接式”数学史料的嵌入方式就是将与数学知识相关的历史知识、材料和背景等外加于教学内容，如教材编排中的“你知道吗？”，“链接式”数学史料的接入方式是简单而且容易操作的。例如，教学“圆的周长”，在孩子们对圆的周长和直径、半径等的关系的猜想后，笔者组织学生用“绕圆法”、“滚圆法”等方法进行实验探索，将孩子们的探索结果和数学史上的数学家的探索结果进行对比、对接，增进了孩子们探索的信心。特别是当学生阅读到南北朝时期数学家祖冲之探索圆周率的故事，知道了祖冲之早在一千多年前用“割圆术”将圆周率精确到小数点后7位，并且用约率和密率表示圆周率时，更是在心中激荡起无比的自豪感。尽管学生还不能领会“割圆术”的精妙，但他们深刻地体验到我国数学思想方法与数学文化的博大精深。可见，“链接式”的数学史料融入法对于学生认识数学知识的历史文化意义具有重要的作用。

2.“附加式”切入：体验数学思想方法的精妙

所谓“附加式”数学史料的切入方式就是用数学史上的一些数学典故、名言等将数学教学进行串接，或者用人类探索数学知识的关键步子进行分步教学。如人类的“用字母表示数”的三个阶段：文辞阶段、缩写阶段、符号阶段，教学时同样依据这样的阶段设计，体验出探索的一般历程。再如，教学“圆的认识”，笔者用《周髀算经》中的“不以规矩不能成方圆”引领学生画圆；用墨子的“圆，一中同长也”引领学生探究同圆或等圆中半径、直径的特征；用《周髀算经》中的“圆出于方，方出于矩”来让学生感受“化曲为直”的数学方法和“极限”的数学思想。在“附加式”切入中，教师或选择数学史料的某些文化切片，或选择数学史中人类探索的关键步子进行引导。这些切入、引导不仅促进了儿童的数学认知，更拓展了儿童的数学视界，滋养了儿童的数学精神和品格。

3.“发生式”融入：重构数学知识的诞生史

19世纪德国生物理论家海克尔认为，“个体发育史重蹈种族发展史”。儿童的数学认知同样契合人类知识的认知发生过程。在数学史上，庞加莱、克莱因、弗莱登塔尔、波利亚等数学家都深信并支持“历史发生原理”。数学教学中，教师要深刻理解并努力重构数学知识的诞生史。例如，教学“比的意义”，研读数学史会发现，“比”产生的客观基础是“量”，“比”产生的主观愿望是“人类描述两种量（几种量）之间的关系”，“比”解决了“量”的“不可度量属性”的可比性。基于此，笔者分三个层次设计教学，首先出示几个数量，让学生从相差关系、倍数关系方面进行描述；其次出示几组不可直接度量的量让学生比较，如“红队和蓝队比赛投篮，红队投中了15个，蓝队投中了20个，哪个队投篮更准些？”，“甲杯含糖30克，乙杯含糖40克，哪杯水更甜些？”，让学生感受“比”产生的必要性；再次是让学生感受到比可以描述变化量的关系，如“小明调制一种颜料，用1勺黄颜料配4勺蓝颜料，那么两勺黄颜料配几勺蓝颜料？”这样的设计让学生深刻体验比的产生的历程。不难看出，“发生式”教学隐性地融入了数学史，是一种数学的“再创造”！

“HPM”视野下的“儿童数学”教学闪现着人类的智慧创造，更展现了儿童的数学“再创造”智慧。儿童不仅仅掌握了数学知识本身，更领悟到数学知识丰富的背景、精妙的方法和深刻的思想。“数学史”应当成为儿童“认知的桥梁”、“学习的路径和指南”！

［1］张平.HPM视域下的概念教学［J］.上海教育科研，2015（3）.

［2］薛志梅.HPM研究与实践：是理念，更是行动［J］.江苏教育（小学教学），2015（5）.

［3］金惠萍，王芳.HPM视角下的对数概念教学［J］.教育研究与评论（中学教学），2014（9）.