■江西省萍乡市湘东中学　池　旭



一题多解寻求多种解题方法

■江西省萍乡市湘东中学池旭

大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考中必考数学，又只能硬着头皮学.如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧”，很多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥.而一题多解有助于培养学生的发散思维能力，脱离枯燥，使学生在解题中回忆、联系所学内容，同时巩固新学的知识；有助于锻炼学生的基本技能，同时抑制教学的模型化，促进学生发展自动化；还有助于学生形成良好的科学素质.本文通过对一题多解的例题剖析，指出了学生应用一题多解的妙处.现从下面二个案例中略谈一题多解，以抛砖引玉.

案例一（中学代数中的一题多解）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是_________.

这是一道很值得深入探究的高考题，笔者在某次课堂上讲解后，总觉得意犹未尽，故行之成文.

解法1：设2x+y=t，则y=t-2x，代入4x2+y2+xy=1，得4x2+ （t-2x）2+x（t-2x）=1，即6x2-3tx+t2-1=0，故Δ=9t2-24（t2-1）≥0，

∴t2≤，故，故2x+y的最大值是，当且仅当时取得最大值.

评注：本解法先将所求变量整体换元，然后代入已知条件消元，利用判别式法构造不等式，最终使问题解决，按照这个思路，也可以采用下面的解法.

解法2：设2x+y=t，则（2x+y）2=t2=t2（4x2+y2+xy），

∴（4t2-4）x2+（t2-4）xy+（t2-1）y2=0.

则15t4-24t2≤0，即.故即2x+y的最大值是此时时，等号成立.

评注：本解法与解法1有类似之处，不同之处是巧用“1”和独特的消元，构造出了含参一元二次方程，再利用判别式法构造……