何晓旭, 殷守林, 赵志刚

(沈阳师范大学 科信软件学院, 沈阳 110034)



一种新的无优化约束问题的混合FR和PRP共轭梯度算法

何晓旭, 殷守林, 赵志刚

(沈阳师范大学 科信软件学院, 沈阳 110034)

混合共轭梯度法; 线性搜索; 收敛性分析

0 引 言

对于无优化问题,混合共轭梯度法在寻找最优解方面起着很大的作用。问题可以描述为

(1)

其中,f:Rn→R是连续可微的目标函数。对于解决大规模无优化问题,混合梯度法是首选的一种方法,因为不像牛顿或者拟牛顿法[1-2],它们只需要一阶导数,因此只需要较少的存储容量。而且他们也相对很容易编程。给定一个初始值x0∈Rn,混合梯度法产生对于式(1)的一个序列{xk},用下述方式表示:

(2)

其中,αk是线性搜索确定的一个步长,dk是在xk位置目标函数的下降方向。αk可以由执行一个确切或者不确切的一维线性搜索过程获得。如果对于一个确切的线性搜索,那么αk可以是

(3)

如果对于不确切的线性搜索,在Amirjo条件下,需要αk满足条件

(4)

和标准的Wolfe条件,也需要满足公式(4)和曲率条件

(5)

其中,0<μ<σ<1。强Wolfe条件用于很多文章,由式(4)和式(6)给出。

(6)

混合梯度法的搜索方向dk可以由式(7)得到。

(7)

其中,gk=f(xk)是f的梯度在xk位置,βk是一个标量,被称为共轭梯度系数。不同的共轭梯度系数选择导致不同的共轭梯度法。一些应用比较广泛的共轭梯度法包括)共轭算法[3-4],Polak-Ribiè)共轭算)共轭算)共轭算法[9],conjugate)共轭算法,)共轭算法[10]。所列文献展示了二元函数是等价的,但是它们的性能还是依靠系数βk。共轭梯度法和拥有强大的全局收敛性性[11-12],但是它们有更少的计算性能;另一方面,和方法不总是收敛,但是表现出良好的计算性能[13-14]。……