王雪萍

摘 要：数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。

关键词：数形结合；高中数学；教学应用；数形转换

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）06-261-02

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。本文通过“以形助数”和“以数助形”这两大题型的具体分析，揭示出“数”与“形”之间的紧密关系，从而把问题优化，获得解决。

一、研究的目的和意义

数是形的抽象概括，形是数的直观表现。恩格斯说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是充分运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.

数形结合思想方法是中学数学基础知识的精髓之一，是把许多知识转化为能力的“桥”。在高中数学教学中，许多抽象问题学生往往觉得难以理解，如果教师能灵活地引导学生进行数形结合，转化为直观、易感知的问题，学生就易理解，就能把问题解决，从而获得成功的体验，增强学生学习数学的信心。尤其是对于较难问题，学生若能独立解决或在老师的启发和引导下把问题解决，心情更是愉悦，这样，就容易激发学生学习数学的热情、兴趣和积极性。同时，学生一旦掌握了数形结合法，并不断进行尝试、运用，许多问题就能迎刃而解。

二、数形结合在提高学生解题能力中的作用

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。 其中数形结合的重点是研究“以形助数”。

根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种数形结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到顺利解决。

1、“以形助数”

例1：设函数 若f（x0）>1，则x0的取值范围是（ ）。

A.（-1，1） B.（-1，+∞ ）

C.（-∞，-2）∪（0，+∞） D.（-∞，-1）∪（1，+∞）

分析：本题主要考查函数的基本知识，利用函数的单调性解不等式以及借助数形结合思想解决问题的能力。

解：如图1，在同一坐标系中，作出函数y=f（x）的图象和直线y=1，它们相交于（-1，1）和（1，1）两点。

由f（x）>1，得x<-1或x>1 。

答案：D。

2、思维视野

例1：若I为全集，M、N I，且M∩N=N，则（ ）。

A. I M I N

B.M I N

C. I M I N

D.M I N

提示：由韦恩图可以很容易知道答案为C。

在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

三、数形结合应用方法

1、以“数”化“形”。由于“数”和“形”是一种对应，有些数量比较抽象，我们难以把握，而“形”具有形象，直观的优点，能表达较多具体的思维，起着解决问题的定性作用，因此我们可以把“数”的对应——“形”找出来，利用图形来解决问题。我们能够从所给问题的情境中辨认出符合问题目标的某个熟悉的“模式”，这种模式是指数与形的一种特定关系或结构。这种把数量问题转化为图形问题，并通过对图形的分析、推理最终解决数量问题的方法，就是图形分析法。解一个数学问题，一般来讲都是首先对问题的结构进行分析，分解成已知是什么（条件），要求得到的是什么（目标），然后再把条件与目标相互比较，找出它们之间的内在联系。

2、以“形”变“数”。虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂 的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算。解题的基本思路： 明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中用到的图形的用代数式表达出来，再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等。

3、“形”“数”互变。“形”“数”互变是指在有些数学问题中不仅仅是简单的以“数”变“形”或以“形”变“数”而是需要“形”“数”互相变换，不但要想到由“形”的直观变为“数”的严密还要由“数”的严密联系到“形”的直观。解决这类问题往往需要从已知和结论同时出发，认真分析找出内在的“形”“数”互变。一般方法是看“形”思“数”、见“数”想“形”。实质就是以“数”化“形”、以“形”变“数”的结合。

四、结束语

数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法。要想提高学生运用数形结合思想的能力，需要教师耐心细致的引导学生学会联系数形结合思想、理解数形结合思想、运用数形结合思想、掌握数形结合思想。

参考文献：

[1] 胡顺添.浅谈高中数学教学中“数形结合”思想的应用[J].数学学习与研究（教研版）；2009年09期.

[2] 朱诗林.浅谈初中数学中的数形结合[J].硅谷；2008年03期.

[3] 何 涛.“数形结合”在物理教学中的应用[J].中国校外教育；2010年S2期.