湖北 皮冬林

函数中的常见错误解析（下）

湖北 皮冬林

一、基本初等函数

【易错点1】忽视对含参数的二次项系数为零时的讨论

【例1】若不等式（a2－4）x2＋2（a－2）x＋1＞0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（ ）

A．a＞2 B．a≥2

C．a＜－2D．a≤－2

【解析】当a2－4＝0时，a＝2或a＝－2，经检验a＝2满足条件；

当a2－4≠0时，若不等式（a2－4）x2＋2（a－2）x＋1＞ 0对一切x∈R恒成立，则a＞2．综上，满足条件的实数a的取值范围是a≥2，故正确答案为B．

【评注】在解答含参数的二次型函数时，若二次项系数含有参数，则一定要注意二次项系数为零时是否满足题意．本题中若忽视了对a2－4＝0的讨论，则很容易错选为A答案．

【变式】已知函数f（x）＝（k2－1）x2＋2x－3在区间（－∞，2］上单调递增，则实数k的取值范围是________．

【易错点2】忽视幂函数的系数为“1”

【例2】（2013·安徽模拟）幂函数y＝（m2－m＋1）· xm2－2m－3在区间（0，＋∞）上单调递减，则实数m的取值范围为________．

【解析】由幂函数y＝（m2－m＋1）xm2－2m－3在区间（0，＋∞）上单调递减，得

故满足条件的实数m的取值范围为｛0，1｝．

【评注】本题中若没有注意到m2－m＋1＝1，容易错误地由m2－2 m－3＜0得到－1＜m＜3的错误结论．

【变式】已知幂函数f（x）＝（m2－5 m＋7）xm2－6在区间（0，＋∞）上单调递增，则实数m的取值范围为________．

【答案】实数m的取值范围为m＝3．

【易错点3】混淆函数中的“有解”与“恒成立”问题

【例3】（2015·江西调研）已知函数g（x）＝ax2－2ax＋1＋b（a＞0）在区间［2，3］上有最大值4和最小值1．设，若不等式f（2x）－k·2x≥0在x∈［－1，1］上有解，求实数k的取值范围．

故满足条件的实数k的取值范围为（－∞，1］．

【评注】在函数中常见到含有参数的“有解”与“恒成立”问题，在审题中一定要注意理解题意．若k≤f（x）有解，则k≤［f（x）］max；若k≤f（x）恒成立，则k≤［f（x）］min；若k≥f（x）有解，则k≥［f（x）］min；若k≥f（x）恒成立，则k≥［f（x）］max．

【变式】（2014·西安五校模拟）定义域为R的函数f（x）满足f（x＋2）＝2f（x），当x∈［0，2）时，f（x）＝若当x∈［－4，－2）时，函数恒成立，则实数t的取值范围为（ ）

A．2≤t≤3B．1≤t≤3

C．1≤t≤4D．2≤t≤4

【易错点4】对数式的变形过程不等价

【例……