河北 李锦昱

空间向量能干的那些事

河北 李锦昱

自从引入空间向量这一重要工具之后，老师们再也不用担心我们的立体几何了，因为很多立体几何问题变的都那么程式化，操作也简单明了，不信请看以下几例．

一、空间向量定轨迹

1．确定轨迹是直线

【例1】如图所示，正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面垂直，O是正方形ABCD的中心，正方形内的一个动点M满足MP＝MB，则点M的轨迹是（ ）

【解法一】连接PB，由MP＝MB可得点M在线段PB的垂直平分面上，即点M的轨迹是线段PB的垂直平分面与底面正方形ABCD的交线，因此是线段，但这条线段显然又不是对角线AC，故应选B．

其实，空间向量可以把“显然”准确化：

【解法二】设AD、BC的中点分别为E、F，以EA、EF、EP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，不妨设正方形边长为2，则那么，整理得x＋2y－1＝0，其轨迹是直线的一部分．

2．确定轨迹是平面曲线

空间中给定圆锥和平面（截面），若截面与轴垂直，则截面曲线是圆（含点圆）；若截面与一条母线平行，则截面曲线是抛物线；若截面与轴平行或与对顶圆锥顶点两侧都相交，则截面曲线是双曲线；若截面只与圆锥顶点一侧相交（不与轴垂直），则截面曲线是椭圆．

2015年浙江卷文科第7题（例2）就很好地考查了圆锥曲线的本质定义．

【例2】如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则P的轨迹是（ ）

A．直线 B．抛物线

C．椭圆 D．双曲线的一支

【解析】显然AP是以AB为轴的圆锥面的母线，因为∠PAB＝30°且平面α与圆锥的轴线所成的角为60°，则截面是椭圆，故选C．其详细的解答可参考……