高二数学测试

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分,共70分)

1.用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”为______.

2.某大学共有学生5 600人,其中专科生1 300人,本科生3 000人,研究生1 300人,现采用分层抽样的方法,抽取容量为280的样本,则抽取的本科生人数为______.

3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB与直线A1C1的位置关系是______.

4.若一组样本数据2,3,7,8,a的平均数为5,则该组数据的方差s2=______.

5.下图是某算法流程图,则程序运行后输出的结果是______.

6.底面边长为2 m,高为1 m的正四棱锥的全面积为______m2.

7.从编号为0,1,2,…,79的80件产品中,采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本,若编号为8的产品在样本中,则该样本中产品的最大编号为______.

9.(文科)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆,则这个圆锥的高是______.

11.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为______.

12.已知m,n是不重合的两条直线,α,β是不重合的两个平面.下列命题:

① 若α⊥β,m⊥α,则m∥β;

② 若m⊥α,m⊥β,则α∥β;

③ 若m∥α,m⊥n,则n⊥α;

④ 若m∥α,m⊂β,则α∥β.

其中所有真命题的序号是______.

13.如图直三棱柱ABB1-DCC1中，BB1⊥AB,AB=4，BC=2,CC1=1,DC上有一动点P，则∆APC1周长的最小值是______.

14.斜边为4的直角∆ABC,角B=90°,角A=60°,点A在平面α上,顶点B,C在平面α的同一侧,M为BC的中点,若∆ABC在平面α上的射影是以A为直角顶点的∆AB′C′,则M到平面α的距离的取值范围是______.

二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)

15.如图,在正四面体ABCD中,点E、F分别是AD和CD的中点,求证:(1)EF∥平面ABC;(2)BD⊥EF.

16.(本小题满分14分)某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出60名学生,并统计了他们的物理成绩(成绩均为整数且满分为100分),把其中不低于50分的分成五段[50,60),[60,70)…[90,100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:

(1)求出物理成绩低于50分的学生人数;

(2)估计这次考试物理学科及格率(60分及以上为及格).

17.(本小题满分15分)(文科)如图,四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形,PD⊥平面ABCD，M为PC中点.

(1)求证:AP∥平面MBD；

(2)若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD.

(1)求PC与平面PAB所成角的正弦值;

(2)求平面AMC与平面BMA所成二面角(锐角)的余弦值.

(1)求证:N为AC中点;

(2)求证:平面A1B1MN⊥平面A1ACC1.

19.(本小题满分16分)如图,四边形ABCD为矩形,平面ABCD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,BF⊥平面ACE,且点F在CE上.

(1)求证:AE⊥BE;

(2)求三棱锥D——AEC的体积;

(3)设点M在线段AB上,且满足AM=2MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥平面DAE.

20.(本小题满分16分)如图(1),等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=60°,E是BC的中点.如图(2),将∆ABE沿AE折起,使二面角B-AE-C成直二面角,连结BC,BD,F是CD的中点,P是棱BC的中点.

(1)求证:AE⊥BD;

(2)求证:平面PEF⊥平面AECD;

(3)判断DE能否垂直于平面ABC?并说明理由.

参考答案

一、填空题

1.A∈l,l⊄α；2.150；3.异面；

二、解答题

15.(1)因为点E、F分别是AD和CD的中点，所以EF∥AC.

又EF⊄平面ABC,AC⊂平面ABC,

所以EF∥平面ABC.

(2)取BD的中点M,连AM,CM.

因为ABCD为正四面体,所以AM⊥BD,CM⊥BD,又AM∩CM=M,所以BD⊥平面AMC.

因为AC⊂平面AMC,所以BD⊥EF，

又EF∥AC,所以BD⊥EF.

16.(1)因为各组的频率和等于1,故低于50分的频率为:

f1=1-(0.015×2+0.03+0.025+0.005)×10=0.1，

所以低于50分的人数为60×0.1=6(人).

(2)依题意,成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组(低于50分的为第一组),

频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75，所以,抽样学生成绩的合格率是75%.

于是,可以估计这次考试物理学科及格率约为75%.

17.(文科)(1)连结AC,设AC∩BD=H,连结EH.

∵H为平行四边形ABCD对角线的交点,∴H为AC中点,

又∵M为PC中点,∴MH为∆PAC中位线,

可得MH∥PA,

MH⊂平面MBD,PA∥平面MBD,

所以PA∥平面MBD.

(2)∵PD⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,

∴PD⊥AD.

又∵AD⊥PB,PD∩PB=D,

∴AD⊥平面PDB,

结合BD⊂平面PDB,得AD⊥BD.

∵PD⊥BD,且PD、AD是平面PAD内的相交直线，

∴BD⊥平面PAD.

(1)因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AD,又因为AB⊥AD，

AB,AP是平面PAB内的两条相交直线,

18.(1)由题意,平面ABC∥平面A1B1C1,

平面A1B1M与平面ABC交于直线MN,

与平面A1B1C1交于直线A1B1,

所以MN∥A1B1.

因为AB∥A1B1,所以MN∥AB,

所以N为AC中点.

(2)因为四边形A1ACC1是边长为2的菱形,∠A1AC=60°，

故A1A2=AN2+A1N2,从而可得∠A1NA=90°,即A1N⊥AC.

则BC2=AB2+AC2,从而可得∠BAC=90°,即AB⊥AC.

又MN∥AB,则AC⊥MN.

因为MN∩A1N=N,MN⊂面A1B1MN,A1N⊂面A1B1MN,

所以AC⊥平面A1B1MN.

又AC⊂平面A1ACC1,所以平面A1B1MN⊥平面A1ACC1.

19.(1)因为平面ABCD⊥平面ABE，

平面ABCD⊥平面ABE，且交线为AB，

BC⊥AB,BC⊂平面ABCD，

所以BC⊥平面ABE,

所以BC⊥AE.

BF⊥平面ACE,所以BF⊥AE,

BC∩BF=B,所以AE⊥平面BCE,

又BE⊂平面BCE,故AE⊥BE.

(2)在∆ABE中,过点E作EH⊥AB于点H,则EH⊥平面ACD.

由已知及(1)得

(3)在∆ABE中,过点M作MG∥AE交BE于点G.

在∆BEC中，过点G作GN∥BC交EC于点N,

由MG∥AE,AE⊂平面ADE,

MG⊄平面ADE,则MG∥平面ADE.

再由GN∥BC,BC∥AD,AD⊂平面ADE,GN⊄平面ADE,得GN∥平面ADE,所以平面MGN∥平面ADE.

又MN⊂平面MGN,则MN∥平面ADE，

故当点N为线段CE上靠近点C的一个三等分点时,MN∥平面ADE.

20.(1)设AE中点为M.

∵在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=60°,E是BC的中点,

∴∆ABE与∆ADE都是等边三角形，

∴BM⊥AE,DM⊥AE.

∵BM∩DM=M,BM、DM⊂平面BDM,

∴AE⊥平面BDM.

∵BD⊂平面BDM,∴AE⊥BD.

(2)连结CM交EF于点N.

∵ME∥FC,ME=FC,

∴四边形MECF是平行四边形,

∴N是线段CM的中点.

∵P是BC的中点,∴PN∥BM.

∵BM⊥平面AECD,∴PN⊥平面AECD.

又∵PN⊂平面PEF,

∴平面PEF⊥平面AECD.

(3)DE与平面ABC不垂直.

证明:假设DE⊥平面ABC,则DE⊥AB.

∵BM⊥平面AECD,∴BM⊥DE.

∵AB∩BM=B,AB、BM⊂平面ABE,

∴DE⊥平面ABE.

∵AE⊂平面ABE,

∴DE⊥AE,这与∠AED=60°矛盾，

∴DE与平面ABC不垂直.