例析含参不等式恒成立问题

李运财

(甘肃省民乐县第一中学，734500)

已知不等式恒成立,求参数的取值范围问题是高中数学的重要内容之一.这类问题以含参不等式恒成立为载体,镶嵌函数、方程、不等式等内容,综合性强,思想方法深刻,能力要求较高,因而成为高考试题中的热点问题．新教材将导数知识增加到高中数学教学内容中,无疑为多角度、高观点解决含参不等式恒成立问题提供了强有力的工具．我们以下面一道经典的导数题来谈一谈含参不等式恒成立问题的处理策略．

题目设函数f(x)=ex-1-x-ax2.

(1)若a=0,求f(x)的单调区间;

(2)若当x≥0时,都有f(x)≥0,试求a的取值范围．

分析对于第(1)问,利用导数和单调性的关系很容易得出f(x)的减区间为(-∞,0],增区间为[0,+∞)；进而得出f(x)min=f(0)=0,故有f(x)≥0,即ex-1-x≥0,当且仅当x=0时取等号．

下面重点来讨论第(2)问,第(2)问等价于f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,求a的取值范围．

解法1(导数法与放缩法结合)

f′(x)=ex-1-2ax

≥x-2ax

=x(1-2a),

当且仅当x=0时取等号.

e-x-1+x≥0，

即e-x-1≥-x，

所以有f′(x)=ex-1-2ax

≤ex-1+2a(e-x-1)

=e-x(ex-1)(ex-2a).

令f′(x)<0，得x∈(0,ln 2a),

故f(x)在(0,ln 2a)内是减函数，所以f(x)

解法2(二阶导数法)

f′(x)=ex-1-2ax,

f″(x)=ex-2a.

x≥0时,ex≥1，

∴f(x)≥f(0)=0恒成立.

当x∈(0,ln 2a)时,f′(x)

∴f(x)在(0,ln 2a)内是减函数，

∴当x∈(0,ln 2a)时,f(x)

解法3(参数分离与确界原理相结合)

设g(x)=ex(x-2)+(x+2),x>0,则

利用导数知识，可得g(x)在(0，+∞)上是增函数，所以g(x)>g(0)=0故h′(x)>0在(0,+∞)上恒成立.

所以h(x)在(0,+∞)上是增函数

利用罗比达法则，求得

在我国,教育部已经出台实施的两个《数学课程标准》(义务教育阶段和高中阶段)中明显地加大了经典高等数学和现代数学的知识含量,而且主要以系列、模块和专题的形式呈现；同时渗透了数学模型思想、算法思想等,这与F·克莱茵的改革理念如出一辙．因此,正确认识“高观点”,对我国现阶段新课程的顺利实施有着重要的现实意义,而且能够改善教师自身的知识结构,也促使其不断钻研数学专业知识,关注学科发展．