李冬晔，康 彬

(1．南京邮电大学 电子科学与工程学院，江苏 南京 210003；2．南京邮电大学 信号处理与传输研究院，江苏 南京 210003)

电阻抗成像正则化算法的优化

李冬晔1，康 彬2

(1．南京邮电大学 电子科学与工程学院，江苏 南京 210003；2．南京邮电大学 信号处理与传输研究院，江苏 南京 210003)

电阻抗成像技术是一种以人体内部电导率分布为成像目标的医学成像技术。该技术具有非入侵、无损伤、实时成像、系统结构简单、设备价格较低等优点。但其成像反问题的求解中存在严重的不适定性,和主流医学成像技术相比，其成像分辨率不高。针对电阻抗成像中传统Tikhonov正则化分辨率低及边界模糊的问题，文中将归一化测量电压的总变差作为正则化函数，根据电阻抗图像中非均匀的电导率具有稀疏性的特点，提出一种新颖的电阻抗成像的正则化优化算法。电导率分布的求解是通过两步迭代阈值算法(TwIST)完成。通过对模拟域的不同部位及域内数量不等的成像目标进行仿真，测试了该算法的性能。计算机仿真结果表明，所研究的正则化优化算法适用于生物医学成像应用，它可显著改善成像质量和边界分辨率。

电阻抗成像；正则化；反问题；两步迭代阈值算法

0 引 言

电阻抗成像技术(Electrical Impedance Tomography，EIT)是一种以人体内部电导率分布为成像目标的医学成像技术[1-2]。通过附着在皮肤表面的电极将较小的安全交流电流注入人体，并测量电极上的对应电压，利用相应的算法得到人体内部电阻率的分布。EIT技术能在病理变化的初期和恢复期检测到身体组织的阻抗分布变化，这有助于提早发现疾病，且对人体无害，可反复使用。但和主流医学成像技术相比,电阻抗成像技术的图像分辨率较低[3-4]。

理论分析和实践计算表明,EIT图像重建问题是一个非线性病态问题，解存在严重不稳定性(微小误差即能引发解的大幅波动)[5]。为了解决此病态性问题，在EIT图像重构中要采用正则化算法来改善其病态性，以得到稳定的解。目前广泛使用的是Tikhonov正则化算法，该算法通过构造2范数形式的正则函数来实现图像重构，其作用机理相当于空间滤波器[6]，通过对所重构的图像进行一定程度的平滑而使重构过程趋于稳定。此方法的不足在于图像重构过程会丧失一定的边界信息，使图像的目标区域与背景区域之间的边界难以准确区分。

随着压缩传感理论的发展，稀疏重建在信号恢复及图像重构领域受到了很大程度的关注。Tropp等将稀疏解引入到线性反问题的求解中[7]，Bredies等利用稀疏性求解阈值迭代中的最小化问题[8]。受此启发，文中针对传统Tikhonov正则化图像分辨率低及边界模糊的问题，提出一种基于全变差的正则化优化模型。此算法能充分利用电导率分布具有稀疏先验性这一特征。所提出的优化模型可通过两步迭代阈值算法(TwIST)，进行求解，实现图像重构。

1 EIT系统基本工作原理

EIT场域内的电位分布φ与电导率分布σ满足拉普拉斯方程[9]。如果将场域剖分成有限个离散单元，且认为每个单元上的电导率是常数，则每个单元上的灵敏度方程都为线性方程，用矩阵表示如下：

g=Sc

(1)

其中：g为边界电压变化向量；c为离散的电导率向量；S为灵敏度矩阵(即雅可比矩阵)。

这样非线性问题就被简化成为线性问题，满足了大多数电导率变化不大的场合。由于实际每个剖分单元的电导率分布并不均匀，且式(1)待求解的方程中未知量个数远大于方程的个数，导致问题欠定，再则测量误差所引起的微小扰动将导致图像的解产生很大变化。所以求解过程不稳定，解析解难以直接得到。一般根据测量电极电压和用有限元模型正向计算得到的电压构造一个平方误差泛函，利用最小二乘法构造一系列方程组，从而得到反问题的解。

2 正则化算法

传统消除解不定性的方法是采用Tikhonov正则化。此方法的原理是寻找一个由先验信息约束的稳定的解集，然后在从中选择一个解，这是一种应用最普遍的解决病态反问题的方法，已广泛应用于EIT图像重建[6,10]。其基本思想即优化下述最小化目标函数：

(2)

式中：μ为正则化因子；Φ(c)为正则化函数，一般情况下Φ(c)采用2范数形式。

式(2)的意义在于求解的过程中使得偏差最小化的同时，又能使估计解与真实解保持足够的接近。该算法最大的不足为重构图像的边界模糊。

2.1 基于全变差的正则化优化模型

为了有效提高图像的重构精度，文中提出了一种基于全变差的正则化优化模型。全变差(TV)正则化法是1992年由Rudin等首次提出的一种正则化优化方法[11]。由于这一方法能在图像重构时较完整保留图像的边界信息，因此它已广泛应用于图像去噪等领域[11]。

将TV正则化方法应用于EIT图像重建[12]是采用归一化测量电压的总变差作为正则化函数。其最小化目标函数表示为：

(3)

(4)

(5)

式(3)的求解将直接关系到图像重构的精度。为了保证重构图像的鲁棒性，文中采用两步阈值迭代法求解式(3)的最小化问题。

2.2 两步迭代阈值法(TwIST)

两步迭代阈值算法[14](Two-Step Iterative Shrinkage/Thresholding algorithm)结合了阈值迭代收缩算法(IST)和迭代加权收缩算法(IRS)的优点。根据IST算法，寻找最优化的ct的表达式为：

ct+1=(1-β)ct+βΨ(ct+ST(g-Sct))

(6)

其中：S是灵敏系数矩阵(即雅可布矩阵)；g是边界电压变化向量；ct为前一次迭代得到的离散电导率向量；Ψ为去噪函数[13]。

将IRS算法的迭代公式记为ct+1=solution{Atc=b}，At=λDt+STS，b=STg。Dt由ct和总变差函数Φ决定，是一个非负的对角阵。假设线性方程Ax=b，A为非负矩阵，则A可分解为A=C-R，C为易求逆的非负矩阵，则解可定义为：

x1=x0+β0C-1(b-Ax0)

xt+1=(1-α)xt-1+αxt+βC-1(b-Axt)

(7)

其中，α，β，β0都是算法的参数。

TwIST算法结合了IST算法良好的去噪性能及IRS算法处理严重病态性矩阵的有效性。

令C=I+λDt，R=I-STS，则A=λDt+STS。式(8)关于线性方程组Atc=STg的两步迭代解为：

ct+1=(1-α)ct-1+(α-β)ct+βC-1(ct+ST(g-Sct))

(8)

将α置为1，用去噪函数Ψ代替矩阵C-1，即可得到TwIST的解：

c1=Γ(0)

(9)

ct+1=(1-α)ct-1+(α-β)ct+βΓ(ct)

(10)

Γ(c)=Ψ(c+ST(g-Sc))

(11)

(12)

3 仿真对比实验

为了验证上述算法的有效性，采用Matlab和EIDORS系统[15-16]建立如图1所示的模型。建立半径为15的圆形求解区域，调用有限元剖分软件QMG。考虑到计算精度及收敛时间，在电流注入的边界，这些场值较强的地方，三角剖分比较密集，而中间场值变化平缓的区域，三角剖分相对稀疏。三角剖分得到279个节点，492个单元。

图1 有限元剖分图

实验采用16电极，全电极相邻激励模式。成像个数分别设置为一个、两个与三个，成像位置分别设置在边界区域、中心区域。将成像目标的电导率设为0.005S/m，圆域背景电导率设为0.002 5S/m，给边界电压设置40dB的噪声。详细的仿真结果如图2所示。

将两种正则化算法的重建图像与设定的电导率分布情况进行比较，可以看出两种重建算法均能够对仿真模型设定的目标区域实现重建，但重建的质量却不尽相同：TwIST算法所得到的重建图像能够较好地确定目标区域的位置、大小和形状，且目标区域与背景的边界清晰，图像分辨能力强；而Tihonov正则化算法得到的重建图像目标区域明显偏大，边界模糊不清，伪影较多。

图2 仿真模型及成像效果比较

上述对比说明，采用TwIST算法后，重建图像目标区域电阻率与背景区域的区别明显提高，向目标区域的收敛集中程度进一步增强，反映出了TwIST算法较常规的Tikhonov正则化技术有更佳的重建能力。

4 结束语

在生物医学应用中的电阻抗成像技术中，由于其常规的Tikhonov正则化重建算法偏重于解决稳定性问题，牺牲了成像边界的分辨率，使得重建图像与真实情况有较大差别。文中运用了TwIST算法对EIT正则化问题进行优化，重建结果表明该方法是有效的。与传统Tikhonov正则化算法相比，该算法具有较好的分辨能力，能有效地将目标区域的电导率与背景区域区分开，所获得的重建图像质量有了一定的提高。利用稀疏性特征的两步迭代阈值算法(TwIST)对后续EIT技术的研究提供了一种新思路。

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Optimization of Electrical Impedance Tomography Regularization Algorithm

LI Dong-ye1，KANG Bin2

(1.Institute of Electronic Science and Engineering，Nanjing University of Posts & Telecommunications,Nanjing 210003,China；2.Institute of Signal Processing and Transmission,Nanjing University of Posts & Telecommunications,Nanjing 210003,China)

Electrical Impedance Technology (EIT) is a kind of medical imaging technology taking the human’s conductivity distribution as the target.There are lots of advantages belonged to this technique such as non-invasive,no damage,real-time imaging,simple system structure and lower price.But there are still serious ill-posed in solving its inverse problem.So compared with the mainstream medical imaging technology,its imaging resolution is not good.Aiming at solving the low resolution and blurry boundaries in electrical impedance tomography where the traditional Tikhonov regularization is used,a new optimization regularization algorithm is proposed in this paper.It takes the total variation of the normalized measured voltage as the regularization function and takes account of the inhomogeneous conductivity’s sparse characteristics in electrical impedance image.The Two-step Iterative Shrinkage/Threshold (TwIST) algorithm is considered to solve the conductivity distribution.The performance of this new algorithm is tested through the different parts and different numbers of imaging targets in the analog domain.The simulation shows that the studied regularization algorithm for biomedical imaging application can significantly improve the image quality and boundary resolution.

electrical impedance tomography;regularization;inverse problem;two-step iterative shrinkage/thresholding algorithms

2015-06-18

2015-09-23

时间：2016-04-04

国家自然科学基金资助项目(60671065)

李冬晔(1991-)，女，硕士研究生，研究方向为电磁计算、生物电阻抗成像。

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1450.TP.20160505.0815.034.html

TP301.6

A

1673-629X(2016)05-0188-03

10.3969/j.issn.1673-629X.2016.05.041