☉河南省沈丘县第一高级中学 赵继勇

学生解题能力的培养
——“思路寻找”

☉河南省沈丘县第一高级中学 赵继勇

教学中我们经常会遇到这样一种情况：讲解完一道题目后，学生都能理解，也清楚应该这样求解.但再遇到一道新问题时，仍然感觉无从下手.究其原因是学生并不清楚解题思路的根源，不知道如何去寻找解题思路.下面举例说明，以期对同学们解题思路的寻找能有所帮助.

例题已知函数fn（x）=（n∈N*），关于此函数的说法正确的序号是______.

①fn（x）（n∈N*）为周期函数；

②fn（x）（n∈N*）有对称轴；

④|fn（x）|≤n（n∈N*）.

本题是以函数为背景的综合问题，集中考查了函数的性质.下面通过对问题的分析、引导，帮助同学们寻找解题思路.

一、明确考查视角，思路自然生成

师：本题以函数为背景，那么高考对函数的考查视角是什么？

生：函数的性质、图像.

师：函数具有哪些性质？

生：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等.

师：函数式中含有sinx，我们知道sinx是周期函数，2π是其最小正周期，那么2π是不是函数fn（x）的周期呢？试一试！

生：fn（x+2π）=

师：不经意间得到了我们想要的结果.再来看看奇偶性.

师：偶函数关于什么对称？

生：关于y轴对称.

师：命题②不攻自破.

评析：函数是高中数学主干内容，高考中函数的命题视角主要体现在对函数性质的考查.熟练掌握这些性质的定义、判定方法及常见的变形是解决此类问题的关键.

变式1已知函数f（x）=tanx-sinx，那么下列命题正确的是_______.

①f（x）的周期为π；②f（x）的图像关于（π，0）对称；

解析：对于①，f（x+π）=tan（x+π）-sin（x+π）=tanx+ sinx，故错误.

对于②，f（π+x）+f（π-x）=tan（π+x）-sin（π+x）+ tan（π-x）+sin（π-x）=tanx+sinx-tanx-sinx=0.故函数f（x）的图像关于（π，0）对称.正确.

对于④，在同一坐标系中作出函数y=tanx与y=sinx在上单调递增，y=sinx在上单调递减，故函数f（x）在）上的图像，由图像可知两函数只有一个交点.

故正确答案为②③.

二、清楚处理策略，思路水到渠成

师：对于一个函数，如果让我们求其对称中心，确实不易入手，但如果让你判断某点是否为其对称中心呢？

生：若点（a，b）为函数（fx）的对称中心，则满足关系2b-y=（f2a-x）.对于③，若的对称中心，则有即y=-

所以当n为偶数时不是函数fn（x）（n∈N*）的对称中心.

师：除了对称中心，如果让我们判断一条直线x=a是否为函数的对称轴，如何判断？

生：若x=a是函数f（x）的对称轴，则满足f（2a-x）= f（x）.

评析：间接判断是解答客观题的常用思路，题目所给的函数并非为我们熟悉的常见类型，即f（x）=Asin（ωx+ φ）型，因此若直接求解，较为烦琐.根据题型特征，利用小题小做的原则，间接判断相关命题是否正确.

变式2已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中正确的是__________.

①（fx）的图像关于（π，0）中心对称；

③（fx）为非奇非偶函数.

解析：对于①，若y=f（x）的图像关于（π，0）中心对称，则有（f2π-x）=（fx），（f2π-x）=cos（2π-x）sin2（2π-x）= -cosxsin2x=-（fx），故①正确.

对于③，因为cosx为偶函数，sin2x为奇函数，所以（fx）为奇函数，故③错误.

正确答案为①②.

三、善于运用转化，思路得到升华

师：当我们遇到一个陌生的问题时，所谓的陌生只是表面现象，陌生的背后往往是我们熟悉的问题背景，因此，解题中要善于将问题进行等价转化，这里的转化不仅包括化生为熟，还包括化繁为简、化抽象为直观、化数为形等.

对于例题的命题④，|fn（x）|≤n（n∈N*），我们如何来转化？

生：|fn（x）|≤n（n∈N*），即，则下列说法中正确的是（）.

A.若a≤0，则f（x）≤1恒成立

B.若f（x）≥1恒成立，则a≥0

C.若a＜0，则关于x的方程f（x）=a有解

D.若关于x的方程f（x）=a有解，则0＜a≤1

解析：对于A，若a≤0，则f（x）≤1恒成立；当a=-1时，≤n，亦即|sinnx|≤ |nsinx|，而此式显然成立.

师：式|sinnx|≤|nsinx|（n∈N*）是我们前面学习中证明过的一个不等式，此时可直接利用此结论，如果是解答题要严格证明.同学们于来回忆一下证明过程.

生：用数学归纳法证明：

当n=1时，结论显然成立.

假设当n=k时结论成立，即|sinkx|≤|ksinx|.

当n=k+1时，|sin［（k+1）x］|=|sinkx·cosx+coskx·sinx|≤|sinkx·cosx|+|coskx·sinx|=|sinkx|·|cosx|+|coskx|·|sinx|≤k|sinx|+|sinx|=（k+1）|sinx|.

故当n为任意正整数时，结论均成立.

评析：问题求解过程中要关于寻找条件与结论之间的关系，找到二者转化的途径，即可顺利解题.

对于B，若f（x）≥1恒成立，即a有解，显然不等式不成立，所以C不正确.

对于D，若关于x的方程f（x）=a有解，当a≤0时，f（x）＞0，不等式不成立；当a＞1时，f（x）≤1，不等式不成立；当0＜a≤1，f（x）∈（0，1），所以D正确.

综上，解题教学中教师要关于引导学生从解题思路的寻找上多下功夫，不仅要让学生明白应该这样解，还要让他们清楚为什么这样解，这种解法是如何想到的.只有这样学生再遇到一个新问题时才知如何入手，解题能力才能得到本质上的提升.F