☉浙江省桐乡第一中学 倪树平

关注概念的生成生长让概念教学更自然
——以“平面向量的坐标表示”概念教学为例

☉浙江省桐乡第一中学 倪树平

一、问题提出

数学概念就是数学对象的本质属性及其特征在人们思想中的反映，数学概念具有高度抽象的特点，学生对概念的学习常常需要自己的观察、感知、体验、抽象和概括的过程.而现实中有的教师借口教学时间紧、任务重，在教学中常常略去概念的生成过程和生长发展过程、必要的问题探究过程，缺少概念本质内涵的揭示，取而代之的是搞“一个定义三项注意”的概念教学模式，从而弱化了学生对概念形成过程及其本质的理解，影响了学生对概念的建构，学生普遍感到概念难学、难懂，不会用.那么，如何让学生学好数学概念，形成自身结构完整的概念体系呢？笔者认为，我们要做的是：关注概念的生成生长，在学生已有概念的基础上让学生亲身经历概念的自然生成和生长发展过程，理解概念之间的必然联系及其本质内涵，感悟概念的应用价值，这样，才能让概念教学更自然、更贴近学生，有利于学生合理有序建构概念，形成较为完整的概念体系，从而减少对概念理解和应用的各种思维障碍.下面以“平面向量的坐标表示”概念教学为例谈几点教学思考，以抛砖引玉.

二、案例回放

《平面向量的坐标表示》概念教学案例

1.类比引入，生成概念

教师：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数对即它的坐标来表示，对于直角坐标平面内的任一个向量，如何表示呢？能否也可以用坐标来表示？今天我们来研究这个问题.由平面向量基本定理可知平面内任一向量都可以用一组基底来表示，如何选取基底会给我们研究带来方便？

学生1：选取两个互相垂直的单位向量作为基底比较合适.

教师：你是怎么考虑的，跟大家说说！

学生1：单位向量模是1，体现简约，互相垂直又是向量位置关系中最常见的一种，这也类似于选取两条互相垂直的坐标轴一样，因此，选取互相垂直的单位向量作为基底会给我们研究问题带来方便.

教师：很好！选取两个互相垂直的单位向量作为基底与我们以前确定点的坐标时选取两条互相垂直的坐标轴并确定坐标轴上单位长度是类似的.那么，我们按上述思路确定怎样的一组基底比较合适呢？

学生2：分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底最好.

教师：好的！这样基底的互相垂直与两坐标轴互相垂直吻合了.那么对于平面内任一向量a该如何用i，j来表示呢？

学生3：由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj.

教师：不错！这样a是由x，y唯一确定，能否将a的表示可以再简化一些？

学生4：我想类比点的坐标形式直接把a用（x，y）来表示最简单了.

教师：非常好！体现简约的思想！我们把有序实数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，这个式子叫做向量a的坐标表示.由此，我们看到向量的坐标表示与点的坐标表示形式是一样的.

2.体会合理性，生长概念

教师：接下来我们思考如此定义平面向量的坐标表示是否合理？你能给出i，j，0的坐标吗？

学生5：i=（1，0），j=（0，1），0=（0，0）.

教师：我们可以看到上述三个向量的坐标与平面内三个点的坐标成一一对应.如果把i，j，0的起点放在原点，其终点坐标与其坐标有什么关系？

学生6：其终点坐标就是向量的坐标.

教师：这是巧合吗？我们把问题一般化来研究，在直角坐标平面中，以原点O为起点的向量的坐标与A点的坐标分别是什么？它们之间有何关系？

教师：很好！因此，在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一对有序实数对唯一表示，这样平面向量与有序实数对即它的坐标建立起一一对应关系，所以这样定义平面向量的坐标与定义点的坐标是类似的，体现了其合理性.

3.理解本质，建构概念

教师：同学们如何理解平面向量的坐标表示的本质内涵呢？

问题1：已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），a，b的坐标所表达的本质内涵是什么？

学生8：a=（x1，y1）=x1i+y1j，b=（x2，y2）=x2i+y2j.

教师：不错！“平面向量的坐标表示”的本质就是用平面内的一组与x轴，y轴方向相同且互相垂直的单位向量i，j作为基底来表示平面内任一向量，只是简化了表示形式而已.

教师点明平面向量的坐标表示的本质内涵，让学生充分理解概念的本质.

教师：那么如此定义平面向量的坐标表示给向量的运算带来哪些方便呢？

问题2：能否运用平面向量的线性运算求出a+b，ab，λa的坐标呢？

学生9：a+b=x1i+y1j+x2i+y2j=（x1+x2）i+（y1+y2）j=（x1+ x2，y1+y2），同理，a-b=（x1-x2，y1-y2），λa=（λx1，λy1）.

教师：很好！这样，我们看到前面学过的向量加减法和数乘运算都转化为简单清晰的代数运算，这也体现了平面向量的坐标表示的合理性和优越性，这就是平面向量的坐标运算.

问题3：如图1，已知A（x1， y1），B（x2，y2），求的坐标.

教师：很好！由此，我们看到一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.同学们能在图中标出坐标为（x2-x1，y2-y）1的点P吗？

4.解决问题，应用概念

教师：请同学们谈谈问题的解决思路！

学生10：因为A，B，C三点共线，所以存在唯一实数λ，使得，代入计算求出m的值.教师：请同学们按该同学的思路做做看！数分钟后让学生10共享其解答过程.

学生10：∵A，B，C三点共线，所以存在唯一实数λ，使得，所以2i+3j-（i+j）= λ［（m+1）i+（m-2）j-（i+j）］，

教师：今天我们学习了平面向量的坐标表示和坐标运算，同学们对学生10的做法有什么反思吗？

学生11：可以运用平面向量的坐标运算来做！建立平面直角坐标系，使i、j与x轴，y轴同向，这样，所以（1，2）=λ（m，m-3），求出m=-3.

教师：很好！这样做大大简化了运算过程，体现了平面向量的坐标表示的优越性，说明同学们已经理解了平面向量的坐标表示的本质涵义.等我们以后学习平面向量数量积时将更加突显出其优越性.

三、概念教学思考

1.放缓概念的引入过程，让概念自然生成

概念是反映事物本质属性的思维形式，数学概念具有高度抽象的特点.每一个数学概念在数学知识体系中都占有一定的地位，与其他概念之间存在着必然的联系，学生对数学概念的获得往往是通过自己的观察、感知、体验、抽象和概括等过程，将新的概念与已有的认知结构中的相关概念建立联系，并将新的概念建构到自己的知识结构中.因此，在概念教学中要放缓概念的引入过程，揭示新概念与已有概念之间的联系，给学生以充分的时间去感知、体验和探究概念的生成过程，同时，概念的引入过程也是让学生自己抽象、概括新概念的过程，这样，使学生感受到新概念的生成是一个自然流畅而又水到渠成的过程.

案例中通过类比“平面内点的坐标表示”的方法引出“平面向量的坐标表示”，在表示平面内点的坐标时必须先选取两条有公共原点且互相垂直的坐标轴x轴，y轴并确定坐标轴上的单位长度，建立平面直角坐标系，再确定点的坐标，类比到表示平面向量的坐标时必须先选取一组互相垂直且与x轴，y轴方向相同的单位向量i，j作为基底，由平面向量基本定理将平面内任一向量用i，j的唯一线性组合表示，再将表示形式简化，这样自然生成了平面向量的坐标表示.整个过程是学生通过类比的方

法，充分感知、探究概念的生成过程，同时，为下一步探究点的坐标与向量的坐标之间的联系奠定了良好的认知基础.

2.展现概念的发展过程，让概念自然生长

《普通高中数学课程标准（实验）》提出：“概念教学要返璞归真，努力揭示概念的形成过程、发展过程及其本质.”每一个数学概念都有其一定的背景，概念的引入都有其合理性，因此，在概念教学过程中，要揭示概念之间的内在联系，展现概念的发展过程，让学生在已有概念的基础上亲身经历概念的生成过程和发展过程，这样，学生对概念的生成过程和发展过程做到清晰明了，也能更好地体会概念的合理性，有利于概念在学生的头脑中自然地生长.

案例中“平面向量的坐标表示”的概念的生成过程自然流畅，但如何让概念自然生长，使学生更好地体会概念的合理性，教师引导学生从特殊到一般的研究方法去探究点的坐标与平面向量坐标之间的联系，整个探究过程展现了“平面向量的坐标表示”的生长发展过程，揭示了将向量的起点放在原点时，其终点的坐标与向量的坐标之间的必然联系.学生已经清楚了平面内的点与其坐标的一一对应关系，由此得到每一个平面向量都可以用一对有序实数对即它的坐标唯一表示，即建立起平面向量与其坐标的一一对应关系也就一自了然.

3.揭示概念的本质内涵，让概念有序建构

概念的本质内涵是指反映在概念中的对象的本质属性，学生对概念本质内涵的把握也是一个缓慢有序的过程.建构概念的关键是在经历概念的生成过程和发展过程的基础上理解概念的本质内涵，搞清楚概念之间的内在联系.因此，在概念教学过程中要揭示概念的本质内涵，让学生清楚概念的来龙去脉，深刻理解概念的本质涵义，促使学生将所学的概念融合到自己相应的知识结构中，与其他概念建立实质性的联系，并在概念体系中去建构新概念，这样，学生对概念的建构是建立在已有概念基础上的意义建构，才是合理有序的建构，建构的概念在学生的头脑中才能持久而深刻，学生才有可能运用概念提出新问题、解决新问题.

案例中“平面向量的坐标表示”的本质就是用平面内的一组与x轴，y轴方向相同且互相垂直的单位向量i，j作为基底来表示平面内任一向量，再类比点的坐标表示方法将表示形式简化.对这一本质的揭示回归了概念的本源，学生在已有向量加减法和数乘运算的基础上导出了它们的坐标运算，学生惊喜地看到平面向量这一几何概念的运算可以转化为简单清晰的代数运算，使学生更加清楚地认识到向量的坐标与点的坐标之间的必然联系，也更让学生体会到引入“平面向量的坐标表示”的合理性和必要性以及它的优越性，至此，在学生理解概念本质内涵，探索解决问题的过程中合理有序建构了新概念.

4.强化概念的具体应用，感悟概念的应用价值

任何一个数学概念都有其应用价值，学生不会应用概念解决问题，说明对概念本质的理解还停留在一知半解，相应概念的知识体系还不完整，因此，在概念教学过程中要让学生感悟概念的具体应用，深刻体会概念的应用价值之所在，同时，概念应用也是促进学生完整稳固建构概念，加深对概念本质理解之必须.

案例中的问题4，学生10的解题思路是最为典型的代表，还是选择直接利用平面向量的线性运算求解，运算过程相对复杂，这些学生对平面向量的坐标表示的理解还不够深刻，通过对问题4的讨论探究，学生对平面向量的坐标表示有了更深的认识，也让学生再次真切地体会到引入平面向量的坐标表示的必要性和优越性.在以后的学习中如学习平面向量数量积时将更加凸显其坐标表示的应用价值.

四、结束语

人教A版教材主编曾寄语：“数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的.如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味.”因此，概念教学应该是自然的、水到渠成的.在概念教学中我们要放缓概念的引入过程，展现概念的发展过程，让学生体会概念的自然生成生长，揭示概念的本质内涵，强化概念的具体应用，让学生有序建构概念，感悟概念的应用价值，这样才能使概念教学更自然、更贴近学生，让概念在学生的头脑中生长生根.

1.人民教育出版社课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书·数学必修4［M］.北京：人民教育出版社，2007.

2.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验稿）［M］.北京：人民教育版社，2003.

3.李锋.自然的、水到渠成的概念教学［J］.中学数学教学参考（上），2011（6）.

4.张爱平.基于数学本质的概念教学活动的实践与思考［J］.数学通报，2012（2）.

5.刘琼.让类比为概念课添彩——“直线的斜率”课堂实录及反思［J］.中学数学（上），2015（2）.Z