山东省高青县教学研究室

董 林 (邮编：256300)

山东省高青县第一中学

赵桂霞 (邮编：256300)



由一道竞赛题引发的思考

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这是一道第26届独联体数学奥林匹克试题.本题看似结构简单，但却蕴含着丰富的资源和信息，本文将围绕这个题目展开思考，借以探讨数学问题研究的角度和维度.

1 考虑问题的解决方法

对于分式不等式，最常规的证明方法是去分母，但作为竞赛题的解决，这个思路一般是不胜其烦或难于奏效.

竞赛中的分式型不等式问题的证明，常用的是代换法，代换一般采用分母整体代换、增量代换和三角代换的方法.

证法1 (分母整体代换)

设x=a-1，y=b-1，已知a>1，b>1，所以x>0，y>0.根据基本不等式有

证法2 (增量代换)

已知a>1，b>1，设a=1+x，b=1+y，以下同证法1，从略.

证法3 (三角代换)

竞赛中的分式型不等式的证明，还常常借助于一些现成的结论，如排序不等式、Cauchy不等式，等等.

证法4 (利用排序不等式)

证法5 (利用Cauchy不等式)

已知a>1，b>1，所以a-1+b-1>0，利用Cauchy不等式知

所以有

另外，通过配凑“处理掉”不等式中的分母，也是时常思考的解决问题的角度之一.

证法6 (配凑法)

从代换、去分母、运用基本不等式等多方面思考还会找到其他的证明方法，读者不妨一试.

2 推广

考虑问题的推广，我们往往从维数和次数两个角度进行探索.

2.1 维数的推广

从对原问题的证明过程中我们可以看到，原问题中的不等式等价于下面的不等式：

命题1 若x、y是正数，则有

对于这个问题，最为简洁的证法是上述……