张现强

摘要：本文通过对利用泰勒公式求解两道全国大学生数学竞赛题的分析，总结概括了泰勒公式在证明导数相关结论时的思考方法，为学生学习掌握泰勒公式提供了一种有效帮助.

关键词：泰勒公式;导数;证明

中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2016）05-0170-02

一、引言

在高等数学中，泰勒公式作为微分中值定理的一种推广，有着重要的应用，它提供了一种用导数值多项式近似表示一般函数的方法。泰勒展开为解决一些求解极限、判定级数敛散性、证明导数相关结论等问题提供了一种非常有效的方法。但是在学习过程中，很多同学觉得泰勒公式在证明等式和不等式中的运用比较难懂，特别是感觉技巧性太强，根本不会去联想到答案中的方法，总感觉有些方法是空穴来风。一般来说，泰勒公式的证明是有一定难度的，证明确实是有一定技巧性的，但这种技巧也并不是无迹可寻的，大部分的证明题所要证的结论和题干中的信息还是很具有暗示性的，如果能敏锐地观察到这些暗示信息，可能你就会找到突破口在哪里，焦点就在于这个泰勒公式展开到底在什么点展开，展开到几阶的问题。本文通过两道全国大学生数学竞赛试题分析泰勒公式在证明一些导数相关结论时的应用，为学生学习掌握泰勒公式提供一种帮助。

二、泰勒公式进行函数展开的定理

定理1 设函数f（x）在点x  的某个邻域内有直到n+1阶的导数，则对此邻域内任意……