张　辉，余桂东

(安庆师范学院 数学与计算科学学院, 安徽 安庆 246133)



有界函数可积条件的推广

张辉，余桂东

(安庆师范学院 数学与计算科学学院, 安徽 安庆 246133)

摘要：对数学分析教材中关于有界函数可积性的条件进行了推广，并且从测度的角度进一步解释了可以推广的原因。

关键词：有界函数；可积条件；测度

在《数学分析》[1]教材中关于函数的可积性有如下两个结论：

定理1[1]若f在[a,b]上连续，则f在[a,b]上可积。

从教学的角度考虑，定理1与定理2都有推广的必要，因为可以提出下面两个问题：(1)定理1的闭区间[a,b]上连续能否改成开区间(a,b)上连续， (2)定理2中结论能否推广到有限极限的情形。对于问题(1)一般的回答是否定的，例如

对于问题(2)，从《实变函数论》[2]中的测度论角度知道回答是肯定的。本文主要目的是利用定积分的定义证明下面两个定理：

由定理3，很容易得到如下的推论。

利用归结原理以及函数极限的Cauchy收敛准则，得到了下面一个有趣的结论：

1.1.1 秸秆机械还田 秸秆直接还田是当前扬州市乃至江苏省秸秆综合利用最主要的途径。2016年，扬州市实现稻麦秸秆还田206.59万t，还田面积30.1万hm2，还田率达66.57%。秸秆还田区域主要集中在宝应、江都、高邮3县(市、区)，还田量分别达总量的39.96%、21.2%和20.49%。

1定理的证明

引理1[1]若f为[a,b]上的有界函数，则f在[a,b]上可积的充要条件是对于任意的ε>0，存在[a,b]上的某个分割T，使得

wi=Mi-mi表示f在Δi上的振幅。

引理2[1]若f是[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f在[a,b]上可积。

则在闭区间H=[a,b]-{(c-ε,c+ε)∪(d-ε,d+ε)}上至多只有有限个间断点。结……