桂 春 燕

(安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)



连续的分布函数与连续型随机变量的关系

桂 春 燕

(安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)

摘要：通过实例探讨了由分布函数的连续性不一定可以得到对应的随机变量是连续型的，这有利于学生更深入的掌握连续型随机变量的分布函数的特性，从而更好的应用于实际。

关键词：连续型随机变量；分布函数；连续函数

概率论中随机变量的分布函数是一个非常重要的知识点，我们已经熟知离散型随机变量X的分布函数F(x)一定是非连续函数， 且F(x)应满足

(1)

其中{xn}为离散型随机变量X的至多可列个取值；反之若分布函数F(x)满足(1)，且{xn}的取值至多可列个，则对应的随机变量是离散型的。本文就学生在学习连续型随机变量分布函数的过程中经常产生的一种错误观点“分布函数连续的随机变量是连续型随机变量”，通过列举反例来进行解释说明，以便于学生更好的理解随机变量的分布函数。首先我们来看一些预备知识。

定义1[1]设X是一个随机变量，x∈R，则称F(x)=P(X≤x)为随机变量X的分布函数。

由定义1，分布函数F(x)显然满足：

(1)F(x)单调不减，即若x1,x2∈R且x1

(2)0≤F(x)≤1且F(-∞)=0,F(+∞)=1；

定义2[1]如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数f(x)，对任意x∈R有

则称X为连续型随机变量，f(x)称为随机变量X的概率密度函数。

1连续的分布函数与连续型随机变量的关系

定理连续型随机变量的分布函数是连续函数。

证明由定义2易知连续型随机变量的分布函数是积分上限函数，从而是连续函数。

例1连续型随机变量X的概率密度函数为

由定义2易求得其分布函数为

显然F(x)是一个连续函数。

那么，上述定理的逆命题 “如果一个随机变量的分布函数是连续函数，它一定是连续型随机变量的分布函数”成立吗？答案是否定的，请看下面分布函数：

故C是闭集，它的Lebesgue测度为

μ(C)=μ([0,1])-μ(B)=1-1=0

在开集B上定义

显然0

易知F(x)是一个连续的分布函数，由存在定理知一定存在一个随机变量X，使得它的分布函数是F(x)。由定义2，

(2)

但f(x)是随机变量X的概率密度函数，应满足

(3)

显然(2)和(3)产生矛盾！所以随机变量X不是连续型随机变量。说明定理的逆命题不成立。

2几点评注

(1)以上结果说明，分布函数的连续性只是随机变量是连续型的必要条件而非充分条件，所以我们不能简单的由随机变量的分布函数是一个连续函数去判断这个随机变量是连续型的；

(2)对于如何利用分布函数来判定随机变量是否为连续型的，首先，验证分布函数是否为连续的，如果不连续，则肯定不是连续型随机变量；其次，如果分布函数是连续的，则进一步通过分布函数求出相应的密度函数，然后验证该密度函数是否满足非负性与规范性[2-3]。

参考文献:

[1] 盛骤.概率论与数理统计(第四版)[M]. 北京：高等教育出版社，2008.

[2]何晓霞，闻江业，尹凯凯，郭发阳. 连续型随机变量函数分布的求法及其应用[J]. 高师理科学刊，2014，34(3)：48-50.

[3] 叶仁玉. 关于连续型随机变量函数分布的探讨[J].安庆师范学院学报(自然科学版)，2010，16(4)：79-81.

Ralation Between Continuous Distribution Function and Continuous Random Variable

GUI Chun-yan

(School of mathematics and computational science，Anqing Teachers College, Anqing 246133,China)

Abstract:In this paper, an example shows that there exists a continuous distribution function which the corresponding random variable is not continuous. This knowledge can help student master the characteristics of distribution function which the random variable is continuous and apply to the actual better.

Key words:continuous random variable，distribution function， continuous function

中图分类号：O211.62

文献标识码：A

文章编号：1007-4260(2015)01-0101-02

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.01.028

作者简介：桂春燕，女，安徽桐城人，硕士，安庆师范学院数学与计算科学学院讲师，研究方向为概率统计。

基金项目：安庆师范学院校级青年科研项目(KJ201106)。

收稿日期：2014-07-14