蔡 改 香

(安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)



关于施密特正交化的一点注释与应用

蔡 改 香

(安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)

摘要：高等代数中求标准正交基、求正交阵都要用到施密特正交化。欧式空间的基中向量的位置不同，经过施密特正交化所得到的标准正交基的结果也不同，并且计算量的大小也不同。用施密特正交化法求实对称矩阵的逆矩阵是一种新的方法。

关键词：基，标准正交基，施密特正交化

高等代数中，欧式空间的一组线性无关的向量张成一个子空间[1]，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。施密特正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。从几何上说，正交基就像一个欧式空间的直角坐标系，比如三维空间的x轴，y轴，z轴，没有正交化的就是非欧几何，如用(1,0,0)，(1,1,0)，(1,1,1)也可以作为一组基，但别的向量用这组基表示不方便。其实用正交基的好处在于数值计算上，不用正交基的话计算不稳定，会随着计算过程逐步积累误差，可能会使得误差过大而使计算结果根本不可用，而正交基则不会发生这种问题。

是正交于子空间Vm[4]，即β正交于Vm的正交基α1,α2,…,αm，因此只要将β单位化，即

那么α1,α2,…,αm,αm+1就是Vm在α上扩展的子空间span{α,α1,α2,…,αm}的标准正交基。根据上面的分析，对于向量组α1,α2,…,αm张成的空间span{α1,α2,…,αm}，只要从其中的一个向量，不妨设为α1，所张成的一维子空间span{α1}开始(注意到{α1}就是span{α1}的正交基)，重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到Vm的一组正交基。……