汪 志 华

(安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)



一种特殊类型行列式的计算及推广

汪 志 华

(安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)

摘要：本文通过对教材中一特殊行列式的计算进行分析，由浅入深，对其多种情形进行推广，从而总结归纳了这一类型行列式计算的一系列公式，并给出这些公式在行列式计算中相应的应用。

关键词：行列式；加边法；行列式计算

行列式是《高等代数》中重要的内容之一，关于行列式的教学已有很多的文献进行过探讨[1-3]。行列式的计算由于技巧强、方法多，学生在解题时往往无从下手，难以把握，因而，教师在教学中可以通过对例题及一些常见的习题进行推广，帮助学生理清思路，并总结归纳。在我校编的教材《高等代数》[4]中(第36页)有这样的一道关于行列式计算的习题：

本文首先对这道习题求解，并对其深入挖掘，加以推广，得到这一类型行列式的各种变形及相应的计算公式，从而为解决这一类型行列式的计算提供参考。

1习题求解及推广

对引言中的行列式有

通过分析发现，上述行列式具有一定的规律可循：对角线元素全相等，而其余元素全相等。据此，我们对该行列式加以推广，得到一般情形，以方便学生应用及计算。

推广1n阶行列式

[x+(n-1)a](x-a)n-1。

(1)

所以Dn=[x+(n-1)a](x-a)n-1。

若n=4,x=0,a=1即是引言中的习题，代入公式(1)可得[x+(n-1)a](x-a)n-1=-3。

公式(1)中行列式的对角线元素全相等，若对角线元素不全相等，我们有如下推广。

推广2n阶行列式

(2)

若xi≠a,i=1，…，n，通过加边有

在公式(1)中，除了对角线以外的元素都相等。若对角线以上的元素都相等，且对角线以下元素也都相等，则有：

推广3n阶行列式

(3)

若a=b，则该问题即是推广1的情形，

Dn=[x+(n-1)a](x-a)n-1

若a≠b，则

(x-a)Dn-1+C，

a(x-b)n-1，所以

Dn=(x-a)Dn-1+a(x-b)n-1。

同样的方法有

(x-b)Dn-1+b(x-a)n-1

联立这两个等式有

在推广3中，主对角线元素全相等，若对角线元素不全相等，则有如下推广。

推广4n阶行列式

(4)

当a=b时，即为推广2，公式(4)成立。

当a≠b时，仿照推广3的计算方法有

其中

可用同样的方法计算

从以上的分析讨论中，我们可以发现，公式(1)到公式(4)中的行列式都是属于同一类型的行列式，可以把矩阵的元素分为三个部分：对角线元素、对角线以上部分元素及对角线以下部分元素。若对角线元素全相等，且其它元素也相等，可以用公式(1)求解；若对角线元素不全相等，但其它元素全相等，可以利用公式(2)求解；若对角线元素全相等，对角线以上部分元素全相等(设为a)、对角线以下部分元素全相等(设为b)，但a≠b，则可以利用公式(3)求解；对角线元素不全相等，对角线以上部分元素全相等(设为a)、对角线以下部分元素全相等(设为b)，但a≠b，则可以利用公式(4)求解。

2公式的应用

我们举几个例子来说明上述推广的应用。

解由公式(1)有

Dn=[a+(n-1)](a-1)n-1。

例2[6]计算

其中a1，a2，…，an≠0。

解由公式(2)有

解由公式(4)有

3结束语

行列式的计算涉及大量的技巧，是学生学习《高等代数》的难点内容之一。本文通过对教材中的一道习题深入挖掘，由浅入深，不断地加以提炼，推广总结，得到更为一般性的结果。通过对习题的计算、推广，不仅使学生得到一些计算公式，更能够启发学生的思维，引导学生自主进行探索，进而掌握学习及科研方法。

参考文献:

[1] 舒阿秀. 关于线性代数中行列式教学的思考[J].安庆师范学院学报(自然科学版)，2006，12(3)：46-47.

[2] 李可峰. 线性代数中行列式教学的思考[J].中国校外教育，2011(8)：63-63.

[3] 张引兵,叶永升,王慧. 线性代数中的行列式教学探讨[J].淮北师范大学学报(自然科学版)，2013,34(1)：76-79.

[4] 胡万宝，汪志华，陈素根，舒阿秀. 高等代数[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2009.

[5] 同济大学数学系. 线性代数[M].北京：高等教育出版社，2007.

[6] 钱吉林. 高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2002.

Computation of One Kind of Special Determinant and Its Extension

WANG Zhi-hua

(School of Mathematics & Computational Science, Anqing Teachers College, Anqing 246133, China)

Abstract:By computing and analyzing one kind of special determinant, it is extended to other varieties from simple to complex in this paper. Some computational formulas for this kind of determinant are obtained by summarizing the calculations of these determinants. This paper also provides some applications to these computational formulas.

Key words:determinant, plus side method, determinant computation

中图分类号：O172.2

文献标识码：A

文章编号：1007-4260(2015)01-0103-03

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.01.029

作者简介：汪志华，男，安徽枞阳人，博士研究生，安庆师范学院数学与计算科学学院讲师，研究方向为计算机辅助几何设计。

基金项目：安徽省高校省级教研项目(No. 2012 jyxm364)。

收稿日期：2014-06-05