罗　明, 尹雪艳2

(1.山东理工大学理学院， 山东淄博 255049; 2.青岛大学 图书馆， 山东 青岛 266071)



平衡单因素模型下两过程能力指数的比较

罗明1, 尹雪艳2

(1.山东理工大学理学院， 山东淄博 255049; 2.青岛大学 图书馆， 山东 青岛 266071)

摘要：在工业生产中，过程能力指数是衡量一个过程能够满足产品质量要求的程度.在平衡单因素模型下，利用广义置信区间的方法获得了两个过程能力指数差的置信区间.研究了Cpk这类过程能力指数，并用数值模拟评估了文章中提出的方法.模拟结果表明广义置信区间方法在该模型下是有效的.

关键词：过程能力指数； 广义置信区间； 平衡单因素模型

过程能力指数(processcapabilityindeices,PCI)是衡量一个过程能够满足产品质量要求的程度.在实际生产过程中，过程能力指数的研究对于现在的工业生产过程具有十分重要的意义.现在国内外运用的过程能力指数主要是 Cpk.对于简单情形正态分布下的过程能力指数的研究，国内外已经有很多统计学者进行了大量的论述，并给出了指数的点估计、区间估计及相关的假设检验；如Kane[1]等、Kotz[2]等详细地讨论了过程能力指数的研究进展及应用情况；陈育蕾与陈意华[3]对过程能力指数进行了综述，介绍了指数的发展及研究现状，并对几种主要的过程能力分析方法进行了介绍；Thomas[4]等人给出了过程能力指数的广义置信区间.

两个过程能力指数的比较问题在实际应用中越来越广泛.如果 Cpk1- Cpk2的置信上下限都为正的，则说明工厂一的过程能力要优于工厂二；若 Cpk1- Cpk2的置信上下限都是负的，则工厂二的过程能力要优于工厂一；若Cpk1-Cpk2的置信上下限有正有负，则说明两个工厂的过程能力没有显著的差异.Jose[5]利用广义置信区间的方法[6]探讨了在正态分布下两个过程能力指数的比较问题.然而，在实际的生产过程中，许多稳定的过程并不简单的服从正态分布.本文利用广义置信区间的方法探究了单因素模型下的过程能力指数比较问题，数值结果表明广义置信区间方法在该模型下是有效的.

1平衡单因素模型与过程能力指数

1.1平衡单因素模型

假设随机变量X服从平衡单因素模型：

Xijk=μk+αik+eijk

i=1,2，…，bj=1,2,…，nk,k=1,2

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

1.2 过程能力指数

PCI是衡量一个过程能够满足产品质量要求的程度. Kane提出了Cpk的概念

(6)

(7)

2广义枢轴量

广义推断是由Weerahandi提出，在存在讨厌参数，并且传统的频率方法无法进行统计推断的情况下，广义推断的方法能够很好的解决.

定义1记R=R(X;x,η)为X和x及η=(θ,δ)的函数，如果R满足以下两个性质：(1)R的分布与未知参数不相关；(2)robs=r(x;x,η)不依赖于讨厌参数δ.则R称为广义枢轴量.

假设给定广义枢轴量R=R(X;x,η),置信系数为γ，定义R的样本空间的子空间为Cγ，即Pη(R∈Cγ)=γ,则称参数空间的子空间ΘC(γ)={θ∈Θ∶r(x;x,η)∈Cγ}为θ的100γ%广义置信区间.

(8)

(9)

(10)

如果T1,T2是Cpk,1,Cpk,2的广义枢轴量，则Tdiff=T1-T2是Cpk1-Cpk2的广义枢轴量.基于此，便可以得到两个Cpk差异的广义枢轴量：

(11)

3数值模拟

借助matlab软件，可以对提出的方法进行评估，算法的实施步骤如下：

Step2:计算出Cpk1,Cpk2，记CpkDiff=Cpk1-Cpk2.

Step3：模拟(Z1,U1,V1)与(Z2,U2,V2)10 000次，得到10 000个Tdiff的值.

Step4：分别取10 000个Tdiff值的97.5%，2.5%分位数作为CpkDiff的置信上下限.

Step5：若Tdiff,0.025≤CpkDiff≤Tdiff,0.975，记为成功一次.

Step6：重复Step1～Step5 10 000次，计算出覆盖率=成功次数/10 000.

表1　置信水平α=0.05下两总体过程能力指数比较的覆盖率

由表1可以看出，在给定显著性水平下，对于不同的总体和样本量，利用广义置信区间的方法得到的两个过程能力指数比较的区间覆盖率都接近0.95，模型具有非常好的适应性.由表1还可以看出，若样本存在组间方差时，广义置信区间方法在单因素模型中的应用比较稳定.本文利用广义置信区间的方法对存在组间方差的正态分布进行了研究.

S2=(SSB+SSE)/(bn-1)

(12)

(13)

(14)

(15)

式(15)就是两个过程Cpk的广义枢轴量．同理，如果T1,T2是Cpk,1,Cpk,2的广义枢轴量，则Tdiff=T1-T2是 Cpk1-Cpk2的广义枢轴量.基于此，便可以得到两个Cpk差异的广义枢轴量：

(16)

数值模拟步骤如同Step1～Step6．取不同均值方差，正态情形与单因素两种情况下广义置信区间方法的覆盖率见表2.

表2 置信水平α=0.05，单因素与正态情形两种情形下广义置信区间方法的精确度

μ1σb1σe1μ2σb2σe2bn考虑组间方差覆盖率未考虑组间方差覆盖率310105305126550.95630.5962200.94520.66531050.94860.7235200.96140.832231073305102550.95560.5322200.96170.65711050.95660.6201200.94680.7360

由表2可以看出，在不同均值方差情形下，当考虑组间方差时，广义置信区间方法的覆盖率接近0.95.而对于未考虑组间方差的情形，广义置信区间方法的覆盖率与0.95的差异较大.由此可得，若数据存在组间方差时，单因素模型要优于正态情形.

4结束语

在正态分布情况下，Chen和Tong[7]利用Bootstrap方法得出了两个过程能力指数比较的置信区间，但是在许多样本情况下，模型得到的覆盖率都远低于1-α.Jose利用广义置信区间的方法得到了此情况下过程能力指数差异的广义置信区间，模型具有非常好的适用性.本文借用广义置信区间的方法得到了单因素模型下两个过程能力指数差异的枢轴量，对于不同的样本量，模型精确度高，适用性强.用数据结论证明，当样本存在组间方差时，单因素模型要优于正态分布模型.

参考文献:

[1]KaneVE.Processcapabilityindices[J].JournalofQualityTechnology,1986,18: 41-51.

[2]KotzS,LovelaceCR.Processcapabilityindicesintheoryandpractice[M].London:HodderEducationPublishers,1998.

[3]陈育蕾，陈意华. 过程能力指数和性能指数的若干问题研究[J].中国计量学院学报,2005，16(4):305-310.

[4]ThomasM,SebastianG,KurianKM.Generalizedconfidenceintervalsfortheprocesscapabilityindices[J].QualityandReliabilityEngineeringInternational, 2007,23(4): 471-481.

[5]JoseK,KanichukattuC.Comparisonbetweentwoprocesscapabilityindicesusinggeneralizedconfidence[J].AdvancedManufacturingTechnology,2013,69:2 793-2 798.

[6]WeerahandiS.Generalizedconfidenceintervals[J].AmericanStatisticalAssociation, 1993,88: 899-905.

[7]ChenJP,TongLI.Bootstrapconfidenceintervalofthedifferencebetweentwoprocesscapabilityindies[J].AdvancedManufacturingTechnology,2003, 21:249-256.

(编辑：刘宝江)

Comparisonbetweentwoprocesscapability

indicesinabalancedone-wayrandommodel

LUOMing1， YIN Xue-yan2

(1.SchoolofScience,ShangdongUniversityofTechnology,Zibo255049,China;

2.Library,QindaoUniversity,Qingdao266071,China)

Abstract:Processcapabilityindices(PCIs)areextensivelyusedstatisticalmeasurestoassessprocessperformanceinmanufacturingindustry.Inthispaper,confidenceintervalsforthedifferencebetweenPCIsfortwoprocessesarederivedbythegeneralizedpivotalquantitymethodinthebalancedone-wayrandom.TheindicesCpkisconsideredinthisstudy.Theperformanceoftheproposedmethodisassessedusingsimulationstudy.Thecomputationalresultsshowthatconfidenceintervalsmethodisefficientforthismodel.

Keywords:PCI;generalizedconfidenceinterval;balancedone-wayrandom

中图分类号：O212

文献标志码：A

文章编号：1672-6197(2015)03-0076-03

作者简介：罗明,男，326036922@qq.com

收稿日期：2014-09-24