古孜努尔?依孜阿木丁

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2016）01-0213-01

1.一元三次方程的解法

定义：如果只含有一个未知数并且未知数的最高次数为三的方程叫做一元三次方程。

一元三次方程的一般形式：ax3+bx2+cx+d=0，a≠0

1.1 形如x3+px+q=0的一元三次方程的解法。设有方程x3+px+q=0（1）

我们令x=u+v，并代入方程（1）得（x+v）3+p（u+v）+q=0

展开并整理得到u3+v3+q+（3uv+p）（u+v）=0（2）为了减少（2）中的未知数，不妨设从而（2）变为3uv+p=0u3+v3+q=0根据伟大定理可知u3，v3是二次方程

y2+qy-P327=0的两个根，解这个二次方程得从而有u1=3-q2+q24+p327，u2=ωu1，u3=ωu1 v1=3-q2-q24+p327，v2=ωv1，v3=ωV1

其中ω=-1+3i2，ω=-1-3i2

因此方程x3+px+q=0三个解的公式是：

这个公式叫做卡丹（cardano）公式。

这里x=u+v中u与v各有3个值，因此x=u+v共有9个值，但是其中u，v的三个值满足条件uv=-p3，所以原方程只有三个解x1，x2，x3。如

又如：u2v3=-p3， u2v3=-p3其中6个值不满足条件uv=-p3。

下面讨论根的情况：

由以上可得一元三次方程的判别式：D=q24+p327。

并且可知D决定了根的性质：

（1）当D>0时，u3，v3是不相等的两个实数，原方程（1）有一个实根和两个共轭虚根，即

（2）当D=0时，u3=v3=-q2，原方程（1）有三个实根，并且其中两个相等，即x1=u1+v1=-23q2

x2=x3=u2+v3=ωu1+ωv1=u1（ω+ω）=-u1=3q2

（3）当D<0时，u和v都是复数，并且共轭复数，因为由|nz|=n|z|有

因为即u=v即uj=vj （j=1，2，3）

设u1=s+it是u的任意一个值，从而v1=s-it，因此有

x1=u1+v1=2s

x2=u1ω+v1ω=12（u1+v1）+i32（u1-v1）=-s-t3

x3=ωu1+ωv1=12（u1+v1）-i32（u1-v1）=-s+t3

即D<0时原方程有三个互异的实根，它们是：

x1=u1+v1，x2=u1ω+u1ω，x3=v1ω+v1ω

2.一般一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0的解法

设有一般地一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0 a≠0（1）

对它进行化简，目标是将它的二次项系数化为零。令x=y+k，其中k是一个待定常数并代入（1） 得a（y+k）3+b（y+k）2+c（y+k）+d=0

展开并整理得到ay3+（3ak+b）y2+（3ak2+2bk+c）y+（ak3+bk2+ck+d）=0

取（2）把（2）代入（1）得ay3+（--b23a+c）y+（2b327a2-bc3a+d）=0

即（3） 。

其中p=1a（--b23a+c），q=1a（2b327a2-bc3a+d）

只要解出（3）的解，利用变化（2）就可以知道方程（1）的解。根据形如x3+px+q=0的一元三次方程的解法可以知道方程（3）的三个解：又由x=y-b3a方程的三个根x1，x2，x3。由以上的讨论可知方程ax3+bx2+cx+d=0的解法步骤：（1）由a，b，c，d的值求k=-b3a，p=1a（--b23a+c），q=1a（2b327a2-bc3a+d）

或x=y-b3a代入原方程得y3+px+q=0写出 的值，且写出x=y-b3a。

（2）计算判别式D=q24+p327与u3=-q2+D，v3=-q2-D其中根据u，v的值计算出y1，y2，y3的解。（3）把y1，y2，y3的值代入x=y-b3a得到原方程的三个根x1，x2，x3。

3.一元四次方程的解法

定义：如果只含有一个未知数并且未知数的最高次数为四的方程叫做一元四次方程。

一元四次方程的一般形式：ax4+bx3+cx2+dx+e=0 a≠0。

3.1 用待定系数法解一元四次方程。待定系数法的定义：为了求得某一个代数式可以根据这个代数式

的一般形式引入待定的系数，然后根据条件列出方程组，再通过解方程组来确定待定的系数值，这种确定未知代数式的方程叫做待定系数法。设有方程x4+ax3+bx2+cx+d=0 a≠0

（1）令x=y-a4并代入原方程消去三次项得y4+py2+qy+r=0

设y4=py2+qy+r=（y2+ky+l）（y2-ky+m）=y4+（l+m-k2）y2+k（m-l）y+lm

其中系数k，l，m是待定常数，通过比较系数得l+m-k2=pk（m-l）=qlm=r

（3）若k=0，则q=0若k≠0时可解得l=K3+pk-q2km= K3+pk+q2kr= （K3+pk）2-q24k2

（4）于是k6+2pk4+（p2-4r）k2-q2=0

（5）设k0是该方程的任意一个根，则由（4）有l0=k03+pk0-q2k0，m0=k03+pk0+q2k0

从而方程（2）变为（y2+k0y+l0）（y2-k0+m0）=0

分别解方程（y2+k0y+l0）=0和（y2-k0+m0）=0

即可得方程（2）的解，并进一步得到方程（1）的解。