李树臣+王华

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）在“课程基本理念”中指出“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展.”数学教学要在这一课程理念指导下，通过知识的传授，提高学生的数学能力，从而提高学生数学素养.

这个任务主要靠课堂教学来完成，因此，如何才能上好数学课就成为广大数学教师一直在努力探究的问题.这个问题是没有定论和绝对评价标准的，也就是说一节好的数学课没有“充分条件”，但必须具备一些“必要条件”.

为了探求这些必要条件，我们从备课和课堂教学两个关键环节入手.

课前备课流程简图（图1）：

在备课环节中，需要教师做的主要问题有两个：

（1）研读数学教学材料（数学教科书、教学用书以及相关期刊材料）；

（2）设计问题系列.

课堂教学流程简图（图2）：

数学课堂教学的主体是学生，核心是学生的活动，这些活动主要指数学观察、思考、实验、探究、猜测、推理、计算、验证等.

教师应在课前精心设计问题系列，在课堂中用这些问题引导学生积极开展各种有效的数学活动，为此，应从以下七个方面加以努力：

1 精心研读数学教科书等有关材料

数学教科书是实现数学课程目标，实施数学课堂教学的重要资源，是师生开展教学活动的载体和纽带，是教师和学生进行一切教学活动的基本依据和不可缺少的材料，要上好一节数学课，首要的任务是深入钻研教科书.对数学教科书的钻研从“研读量”上可分为三个环节：

1.1 整体感知，从宏观上统领全套教材

叶圣陶先生说过：“教材只能用为教课的依据，要教的好，使学生受益，还要靠教师的善于运用”.教材是进行教学活动的主要“蓝本”，无论使用怎样的教学方法，教师都必须通过深入钻研教材，以达成对知识的宏观掌控.

所谓整体感知教科书，就是从宏观上把握整套教科书的内容、编排意图、顺序、组织结构，掌握各阶段教科书体系之间的内在联系，从而居高临下，整体把握教科书.通过整体感知能对教科书的知识从线上进行排列、梳理，跳过纵横交错的各个章节，把握知识体系的本来面目，形成知识系列，明确一些核心知识特别是十个核心概念（数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识）在数学教科书中的地位和作用.从而达到对全套教科书胸有成竹的目的.

在整体把握教科书时，要把《课标（2011年版）》和教科书结合起来研究，只有这样才能准确把握并制定出三年的教学目的，明确应该使学生掌握哪些基础知识，具备哪些数学基本技能，感悟和形成哪些基本的数学思想方法和基本活动经验，发展哪些方面的个性品质，培养哪些道德品质等.这是数学备课必须进行的一个环节.

1.2 深入全面的研究每一章教科书

在学习各章内容之前，应对本章的内容仔细阅读，深入分析它的各组成部分，找出与本章有联系的知识和贯穿其中的主线，从数学思想方法的高度上把握全章的教学内容.这样便于教师处理好知识的逻辑结构与学生心理结构的关系.明确本章的教学要求，正确地把握本章的教学重点和难点.

1.3 精雕细刻的研究课时教材

这就是平常所说的钻研单课，即课时备课，就是从每节课入手，把教科书的任务落实在每一课时中.

长期以来，大部分教师在这个环节下功夫比较大，而对第一、二两个环节的重视和研究程度不够，这样势必会影响其课堂教学效果.

目前，一个很盛行的说法，即所谓的“创造性的使用教科书”，笔者认为，对教科书的创造性使用主要表现在两个方面：

一是对教科书的内容进行精心取舍、巧妙的拓展、以扩大学生的知识视野.这样做的前提条件是学习目标不偏离《课标（2011年版）》要求，教学难度不得提高或降低.

二是对教科书的结构进行重构整合，对相关内容进行有机的整合.表现为教师在进行教学设计时，对教科书的章节、单元、学年甚至整个学段的内容进行调整重组.这样的重构整合一定要做到“科学有据”，不可盲目而为.

总之，对于教科书的创造性不能太“任性”.

另外，在备课时，教师除了研究教科书外，还要研究与教科书配套的教学用书以及与教学内容有关的一些杂志发表的研究成果等.

2 制定明确恰当的教学目标

教学目标既是一堂课的出发点，也是一堂课的归宿，是教与学的根本方向，是整个教学过程的灵魂，一节课的设计和教法都是围绕教学目标的定位而形成的，教学目标不仅决定“我们要到哪里”去，而且决定“我们应该怎样”去；不仅决定我们教什么，而且决定我们怎么教.制定准确、恰当的教学目标是备好课和上好课的前提.教师在制定教学目标时应注意三个问题：

2.1 明确三个概念

要制定教学目标，必须理解三个概念的意义，即教育目的（是教育方针总的培养目标的体现）、课程目标（《课标（2011年版）》提出的学生学习应达成目标）、教学目标（单元、章节、课堂教学达成目标）.这三个概念客观形成了一个有层次的阶梯式结构（图3）：

课程目标处于第二级，它具有“承上启下”的功能，它既要反映教育目的（一级目标）的总要求，并将此要求落实于数学课程的目标之中，也要对数学课堂教学目标（三级目标）发挥指导作用，使课程目标在实践操作层面具体化.所以课程目标既是学生通过课程学习应达成的目标，也是教师通过课程教学必须实现的目标.

2.2 掌握有关动词的含义

《课标（2011年版）》中的数学课程目标包括结果性目标和过程性目标.结果性目标希望清晰表明学生的学习结果是什么.其达成度可较为准确的把握，所使用的目标行为动词有“了解”“理解”“掌握”“运用”等，常用于基础知识与基本技能和各具体课程内容的表述.过程性目标刻画学生在数学学习过程中的体验和表现，具有历时性和过程性特点，常采用“经历”“体验”“探索”等目标行为动词，主要用于数学活动、情感态度等方面的表述.明确这些动词的基本含义，才能恰当地制定教学目标，从而有效的进行数学教学.

（1）了解（知道、模仿、认识、体会、说出、识别、学会等）.所谓了解，是指能从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象.可见，了解就是对知识有了感性的、初步的认识.例如，“了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应”、“识别同位角、内错角、同旁内角”，“通过实例，了解频数和频数分布的意义”等.对“了解”的教学要求有两个方面：①能从具体事例中知道或举例说明对象的有关特征；②能根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象.例如，“了解无理数和实数的概念”，是指能叙述无理数与实数的概念，并能从给定的数集中，辨认出无理数与实数.

（2）理解（会、独立操作、描述、解释、初步运用等）.所谓理解，是指对数学概念和原理达到了理性的认识.能描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系.对于“理解”的教学要求，在“了解”的基础上，又增加了两个要求：③知道该知识的来龙去脉，能准确地阐述该知识与有关概念或原理之间的区别和联系；④知道该知识的用途.例如，“会用勾股定理的逆定理判定直角三角形”，是指不仅能叙述勾股定理的逆定理，而且知道勾股定理的逆定理的由来和逻辑导出过程，明确它与勾股定理的关系，并明确用它判定直角三角形的过程.一般来说，学生学习数学知识不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化.

（3）掌握（能、应用、解决问题等）.所谓掌握，是指在理解的基础上，能把对象用于新的情境，这时该知识已经形成了技能.对于“掌握”的教学要求，在“理解”的基础上又增加了两个要求：⑤通过应用该知识的练习，达到了熟练的程度，具有了自动化的行为方式，即形成了相应的技能；⑥能把该知识应用于新的情境解决问题.例如，“能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程”，就不仅要了解有关的概念、掌握解一元二次方程的各种方法和步骤，而且遇到各种一元二次方程都能迅速准确地求解，形成了技能.

（4）运用（证明等）.所谓运用，是指能综合应用有关的概念和原理，合理地选择与运用有关的方法解决问题.例如，“证明三角形的任意两边之和大于第三边；“证明等腰三角形的性质定理”等.对于“运用”的教学要求，在“掌握”的基础上又增加了两个要求：⑦综合运用该知识和有关知识解决新问题；⑧选择适当的方法或创造适当的方法解决新问题，即形成了运用该知识的能力.

可见，以上四个层次之间是具有一定梯度的，最低层次是“了解”，它有两方面的教学要求，后一个层次都是在前一个层次的基础上，又增加了两个高一点的要求，到最高层次“运用”时便有8个教学要求，对于它们的意义，教师一定要明确，只有这样，才能做到教学“适中、适度”，恰到好处.

为了刻画数学学习过程的不同水平，还必须明确下面的三个动词的意义：

（5）经历（感受、尝试等）.所谓经历，是指在特定的数学活动中，获得一些感性认识.例如，“经历估计方程解的过程”，就是要求学生在教师创设的特定问题情境中，积极思考，参与制定解决问题的方案，参与探索方程解的范围、用适当的方法逐步缩小解的范围、最后确定出方程的解或近似解的所有活动.在经历估计方程解的全过程中，使学生积累数学活动的经验，并学会观察、检验等估计方程解的方法，获得方程的有理解和无理解的感受和认识.

（6）体验（体会）.所谓体验，是指参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征，获得一些经验.例如，“体会抽样的必要性”，是指让学生亲自参与收集数据的活动，感受在实际问题的解决中，往往无法获得全部的数据或者不需要收集全部的数据，在这种情况下，必须采用抽样的方法收集数据，用样本去估计总体，从而体会抽样的必要性.

（7）探索.所谓探索，是指独立或与他人合作，在参与特定的数学活动的过程中，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识.例如，“探索并证明平行线的判定定理”，“探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系”等.

2.3 教学目标应满足三个条件

（1）教学目标要统筹兼顾.要在通读本学段教科书的基础上，弄清本节课在本学段教科书中的地位和作用，站在整体的高度，制定本节课的教学目标.因为数学教学是个系统工程，它具有科学的序列，教师对每个学期，甚至整个学段的教学工作，既要全局在胸，又要明确每个阶段、每个单元、每堂课的教学目标与教学任务.

（2）教学目标要具有可操作性.在教学目标中提出的“培养什么，提高什么，熏陶什么，渗透什么等等”.都是具体可行的.要让学生在学习完了本节课后，不仅清楚“知识是从哪里来的？”而且“能够知道什么，能够联系什么，能够干什么”.

（3）教学目标要简明.一堂课彻底解决学生切实需要解决的一两个问题，真正给学生留下有思考价值和利用价值的东西.

3 教学重点突出

所谓重点，就是联贯全局、带动整体，在整个教科书体系或学生认知结构中处于重要地位的内容.在确定教学重点时应从以下四个方面考虑：

3.1 教学重点应具有知识应用的广泛性

在理论或实践中有着广泛应用的数学知识自然是教学的重点.如方程（组）的知识出现在各册多个章节中，它们的解法本身蕴含的转化思想也具有十分广泛的应用，在代数、几何、解析几何等问题的解决过程中，经常转化为方程（组）来解决.在科学技术方面，常常遇到将实际问题转化为代数问题来解决的情况，这实际上是把问题转化为方程（组）来解决，所以方程（组）的解法是教学的重点.正如笛卡尔所说“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程问题.因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解”.

3.2 教学重点应具有知识地位的独特性

有些数学知识具有丰富的教育功能和证明的典型性及应用的广泛性，说明这一内容的地位比较高，自然是教学的重点.如“勾股定理”是教学的重点，有三方面的依据：一是勾股定理有着丰富的文化内涵，是对学生实施数学文化教育很好的教科书；二是勾股定理有300多种证明方法，是引发学生探索的好素材；三是勾股定理在几何、三角、解析几何，以及生活、生产实践中有着广泛的应用，是学生所学的重要知识.因此，对勾股定理内容的探索和掌握它的一些应用，是教学的重点内容.3.3 教学重点应具有蕴含思想的深邃性

数学知识是数学思想的载体，而数学方法又是数学思想的媒介.当某一个数学知识蕴含着丰富的思想时，这个知识理所当然地就成为教学的重点内容.如在完全平方公式的教学中，公式的推导经历了实验、观察、猜想、证明等活动，其中渗透了符号思想、类比思想、转化思想，同时通过从数到式的转换，通过拼图来验证公式，使学生体会到代数与几何之间的联系，感受到数学的整体性、了解数形结合在解决数学问题中的作用.因此，关于完全平方公式形成过程的教学便是重点.再如，“字母表示数”是发展学生函数思想的基石，它既是基础知识，也是一种基本技能（用字母表示数），又是数学符号感形成与抽象能力的培养手段.而这种符号思想的形成就是从字母表示数开始的，这样“字母表示数”内容所处的重要地位和所蕴含的思想深邃性决定了它也是教学的重点.3.4 教学重点应具有培养功能的特殊性.这一点是针对《课标（2011年版）》在描述学习目标的变化而提出的.例如，几何概念的学习，不能再像传统教学一样把概念的准确定义作为学生学习的重点，应把学习重点放在让学生通过实验操作，探索图形的性质上来.

4 在过程中突出“四基”教学

4.1 基础知识

中学数学的基础知识，是指数学科学的初步知识，也就是进一步学习各门近现代数学理论，学习物理、化学等相邻学科以及参加生产劳动所必须具备的最基本的数学知识.一般认为，《课标（2011年版）》中规定的课程内容，都属于数学基础知识的范畴.

4.2 基本技能

所谓数学基本技能，是在熟练运用数学基础知识解决问题的过程中形成的技能.中学数学中的基本技能，主要指外部操作技能，包括运算技能、处理数据的技能、推理技能和绘图技能等.

4.3 基本思想

《课标（2011年版）》指出：“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等.学生在积极参与数学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想”.掌握数学的基本思想具有重要的意义.

4.4 基本活动经验

数学活动经验是人们在数学活动过程中形成并在遇到某种相似情景时可以忆起的某种体验、方法性知识或某种观念.

华罗庚先生曾说过：“不要只给学生看做好了的饭，更要让学生看做饭的过程，数学教学要设法使数学知识‘活起来.”教学中如果忽视了过程，就等于“割断了数学与现实世界的血肉联系，就会打消学生学习数学的积极性.”

“四基”只能在过程中形成和发展，针对“四基”教学，有效的“宏观策略”是“经历三个过程，参与一个活动”：

其一，经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握有关数与代数的基础知识和基本技能；

其二，经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能；

其三，经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能；

其四，参与综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法解决简单问题的数学活动经验.

5 教学方法积极高效

目前关于教学方法的研究呈现出一派兴旺的局面，种类之多、提法之广是历史上少见的.面对众多的教学方法，教师在选择教学方法时应从以下三个方面考虑：

第一，教学方法的选择要体现五个“有利于”

（1）有利于教学目标的实现；

（2）有利于学生对重点知识的理解和掌握；

（3）有利于师生情感的交流、互动；

（4）有利于学生对知识的产生、发展过程的理解；

（5）有利于课堂教学的顺利开展和学生对新知识接受能力的提高.

第二，教学方法的选择要做到三个“不同”

（1）不同的教学内容决定不同的教学方法；

（2）面对不同的学生，使用的方法也不应该相同；

（3）根据不同的条件，选择不同的教学方法.

第三，教学方法的选择必须让学生“讲、演、练”同时进行

“讲”——口头回答问题；

“演”——书面或板书回答问题；

“练”——思考问题与动手练习.

即在数学课堂上能让学生“积极思考，动手操作，勇于表达自己的见解”等全身都“动”起来的方法就是可行的、高效的.

6 面向全体

《课标（2011年版）》的基本理念决定了数学教学必须面向全体学生.所谓面向全体，就是使每一个学生都能有所发展.一提到面向全体，有人就在想，我应该把教学的难度定位在“优等生”、“学困生”还是“中等生”？如果这样思考的话，“面向全体”就成了一个“悖论”.

究竟怎样才能做到面向全体呢？我们应着眼于教学过程来认识“面向全体”，例如下面的作法就是面向全体的具体表现：

（1）在教学中留下一些供学生思考与探索的问题，如果学生不解决这些问题，并不影响他们对基本内容的掌握，但这些问题却能为学有余力的学生提供一个进一步发展的机会.

（2）在实行分组教学时，不把同质的学生放在一个组，而是采取让异质的学生同组，这样安排就能使不同的学生在组内根据不同的倾向扮演不同的角色，确保他们在展示个性的过程中发展自己.

（3）同样的课，有不同层次的解决，不必要求千篇一律，重要的是要让学生活动有趣，学生对所学内容一旦有了兴趣，就会出现“百花齐放”的局面，这也就是面向全体的局面.

（4）一个题目，有多问，多问之间有一定层次，鼓励学生努力进行解答，但不要求全体学生都要完成对所有问题的解答.

因此，面向全体重要的不是教学难度的定位，而是教学方法的改革，不是灌输，而是启发.

7 引导学生积极进行数学探究活动

《课标（2011年版）》在“教学建议”中指出“数学教学应根据具体的教学内容，注意使学生在获得间接经验的同时也能够有机会获得直接经验，即从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习，不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力.”根据上述要求，我们认为在教学中应结合具体学习内容，指导学生开展必要的探究活动.

数学探究是指在问题的引领下，以学生独立学习和合作讨论为前提，以解决问题为探究内容，以学生能主动发现问题、提出问题、分析问题、解决问题为目的的学习活动.

数学学习本身就是一个师生共同探究的过程，数学探究活动的主体是学生，从这个意义上讲，学生的探究活动可分为三种基本形式：（1）独立探究；（2）合作探究；（3）引导探究；

由于探究内容的难度不同、学生的探究能力存在一定的差异，所以选择探究活动的方式也往往有所不同.在课堂教学中，选择探究活动方式的原则是：能由学生独立探究完成的就不采用合作探究，能由学生合作探究完成的就不采用引导探究.独立探究是前提，合作探究、引导探究是独立探究的补充.

在教学中，教师应对教科书中的学习内容进行创造性的加工处理，结合学生的学习实际，在学生的“最近发展区”内设计成引导学生去探究的问题，在课堂上按照“独立探究——合作探究——引导探究”的顺序确定探究方式，让学生在探究的过程中完成对有关知识的学习.

选择探究活动的过程如图4所示：

探究活动的一般过程

（1）提出问题

问题最好由学生自己提出，也可以由教师设置一个问题情境，激发学生的问题意识，激活学生的思维，促使他们深入地进行思考活动.针对同一个教学内容，教师或学生可能会提出一个或多个问题，这样教师可从中筛选出富有成效的问题，引导学生去探究.

（2）拟定探究方案

根据前面提出的问题，确定探究方向，拟定探究计划.

（3）实施探究

这是探究活动的关键环节.学生开始着手收集与问题相关的信息，围绕这些问题，进行观察、思考、计算、实验、交流等活动，直至发现问题、提出问题、分析问题、解决问题.

（4）形成结论

学生要用合理的、合乎逻辑的论据来表达自己的解释.学生在探究的基础上，根据逻辑关系和推理，找到问题的症结所在，对其中的因果关系形成自己的解释.

学生通过探究活动，可以加深对数学知识的理解，学会研究问题的一般方法，学生在探究活动中，能体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心，形成实事求是、精益求精、客观公正、敢于创新的精神，这正是数学教育教学的崇高目标.

由于在课堂教学中，可能会出现各种各样的突发问题，导致影响一节课的因素很多，但教师只要能做到以上几个方面，就是一节成功的课.