力学中一个趣味问题的讨论

杨星宇

(北京师范大学物理学系北京100875)

摘 要：在3维空间和n维空间中，当一个质点受到某一确定质量和密度物体的最大引力时，对该连续分布物体的形状进行物理分析和数学运算可发现，当物体对质点有最大引力时，物体表面任意质量元对质点的引力在引力合力方向上的分量都相等，而且在3维空间中物体的形状并非球形.

关键词：万有引力定律n维空间最值问题物体形状

收稿日期：(2015-02-25)

对于3维空间中一个连续分布的物体，在质量和密度都保持不变的情况下，它具有什么样的形状时才会对一个质点产生最大的引力呢？会是球形吗？对于n维空间中的物体情况又如何呢？下面分别进行讨论.

1对3维空间中物体形状的讨论

1.1质点受力最大时 对物体形状定性讨论

若以质点所在位置为原点，质点所受引力合力的方向为极轴方向(即极角θ=0),建立球坐标系(r,θ,φ),其中r∈[0,+∞)，θ∈[0,π]，φ∈[0,2π)，则物体上的任意一点可由坐标(r,θ,φ)确定，物体表面可由函数r=R(θ,φ)描述.

要使质点的受力最大，物体的形状应具有以下特性：

(2)物体形状具有旋转对称性，绕极轴旋转任意角度对称，故物体表面函数简化为r=R(θ)

“对称性原理”[1]:原因中的对称性必反映在结果中，即结果中的对称性至少有原因中的对称性那样多.由牛顿第三定律可知，物体对质点有最大引力时，质点对物体也有最大引力.现在考虑质点对物体的引力，由万有引力定律可知，质点产生的引力场以质点为球……