(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州310018)

0 引 言

特征值互补问题在科学工程领域有广泛应用，如机械结构系统、电路仿真、信号处理等问题都可转化成特征值互补问题并求解。众所周知，张量特征值互补问题与其特征值问题关系密切，而后者不可以在多项式时间内求得。著名的Gerschgorin型(圆盘)定理刻划矩阵的特征值估计，在数值分析中有重要应用。张量特征值是2005年提出的新概念[1]，张量特征值互补问题是矩阵特征值互补问题和张量特征值问题的推广，也与一类非线性的微分包含问题密切相关，引起了广泛关注[2]。与矩阵特征值问题不同，张量特征值计算是NP-难问题，张量特征值及其个数计算远比矩阵情形复杂。但与矩阵类型相似，张量特征值或Pareto-特征值可以判别高次多项式的正定性且实际应用广泛。本文给出张量特征值互补问题中的Pareto-特征值的估计，它们是矩阵情形相应结果(如圆盘定理)的张量推广，有重要理论意义和潜在应用价值。

1 问题及相关预备知识

本文考虑张量特征值互补问题(简记TEiCP)，即求λ ∈R和x ∈Rn+{0}，使得:

定义1 设A为m阶n维张量。若A的任意元ai1i2…im在下标任意置换下均保持不变，则称A是对称的。

定义2[3]设A为m阶n维张量。若存在非空集I ⊂N:= {1，2，…，n}，使得对任意i1∈I和i2，…，im∉I，均有ai1i2…im=0，则称A为可约，否则称A为不可约。

定义3 设A为m阶n维张量。若A 中任意元素均非负，则称A是非负。若对任意x ∈Rn+{ 0}，均有，则称A为协正定(严格协正定)。

定义4[4]设A为m阶n维张量。若存在满足η≥ρ(C)(η ＞ρ(C))的正实数η和非负张量C，使得A=ηⅠ-C，则称A是M-张量(强-M-张量)。……