高 英，朱维耀，岳 明，李爱山，张燎原，宋洪庆

（1.北京科技大学 土木与环境工程学院，北京 100083； 2.中石化胜利油田分公司 采油工艺研究院，山东 东营257000）

0 引言

世界石油工业正向非常规油气跨越，最早认知的非常规油气为致密砂岩气、深盆气、煤层气、页岩气等致密储层天然气.随着页岩气理论研究的深入及勘探开发的迅速发展，页岩油也成为油气开发的另一新热点，成为油气供给的重要来源［1-6］.页岩油不以浮力作用为聚集动力，具有源储一体、纳米级孔喉、储集物性致密、裂缝系统发育、储集层脆性指数较高等典型非常规油气特点.页岩油储层属于超低渗透致密储层，一般无自然产能或低产，邹才能等［7］认为需要通过“人造渗透率”，即体积压裂、重复压裂技术手段改造储层，实现页岩油有效开发.

由于受页岩油储层的脆性特征及天然裂缝发育等影响，水力压裂裂缝不再是传统的双翼对称裂缝容易形成错综复杂的裂缝网络系统［8］.人们对低渗透油藏、页岩气体积压裂已有研究［9-15］，但对页岩油体积压裂井的渗流理论和数学模型研究尚处于起步阶段，多数是采用数值模拟软件研究低渗透油藏体积压裂井产能［16-17］，并不能很好体现页岩油储层的渗流特性.笔者结合质量和动量守恒方程，根据页岩油在井周围流体的不同流动特征［18-19］，将裂缝周围的流体流动划分为2个区域，建立体积压裂成缝网的页岩油储层直井二区耦合渗流数学模型，推导解析解，得到页岩油体积压裂直井产能方程，能够直观评价体积压裂缝网效果和预测直井产能.

1 纳微米孔喉渗流特征

页岩油储集层中广泛发育纳米级孔喉［5，7］，孔径主要为50～300nm，孔隙度一般小于10%，渗透率小于0.01×10-3μm2.储层岩石的微观孔喉结构直接影响储层的储集渗流能力，并最终决定油气藏产能分布的差异.利用岩心流动实验，分别测定流体在不同流量条件下通过岩心时的压力梯度（见图1），并绘制启动压力梯度与渗透率关系曲线（见图2）.

由图1可知，页岩油开发过程中，直线段的延伸与压力梯度轴的交点不经过坐标原点，曲线具有明显的非线性特征，流体渗流不再遵循达西定律，出现低速非达西渗流，具有拟启动压力梯度.低渗岩心的启动压力梯度随流量的增加而增加，岩心的渗透率越小，启动压力梯度越大.

由图2可知，流体在页岩油储层中流动时，启动压力梯度与地层的渗透率密切相关，随着渗透率的降低，地层流体的启动压力梯度急剧增加，启动压力梯度与渗透率之间呈幂函数关系，即

式中：G为启动压力梯度；K为渗透率.

页岩油储层渗透率小于0.01×10-3μm2，启动压力梯度达到5MPa／m，远远大于低渗透油藏的0.02 MPa／m的启动压力梯度［20］，存在明显的强非线性渗流特征.因此，页岩油储层纳微米孔喉的渗流运动方程可用广义公式表示为

式中：v为渗流速度；μ为黏度；▽p为压力梯度.

2 表征模型

2.1 裂缝形态

页岩油储层中发育微裂缝，主要有2种类型：一是发育在颗粒内部；二是发育在碎屑颗粒边缘.颗粒内部的微裂缝一般比较平直，曲折度较小，少有胶结物充填.颗粒间的微裂缝呈锯齿状弯曲.微裂缝长度为5.5～12.0μm，裂缝间距可达50nm以上，但延伸很短.存在微裂缝的区域，岩石脆性指数较高，易形成微裂缝网络，从而成为页岩中微观尺度上油气渗流的主要通道.

体积压裂过程中，存在剪切、错断和滑移等复杂的力学行为，在张性主裂缝存在的同时还存在大量的次生裂缝，并与微裂缝形成错综复杂的网络系统（见图3），增大改造体积，沟通流场.断裂和裂缝的分布和几何形体具有明显的分形结构，断裂系统可以使用分维度、统计自相似性和幂函数等研究，以分维数度量［21-23］.因此，采用分形理论描述体积压裂改造后裂缝的分布特征，并表征体积压裂“人造渗透率”.

2.2 “人造渗透率”

为了研究渗流速度，建立理想模型：地层厚度为h、半径为r、井径为rw、井底流压为pw、流量为Q的圆柱型径向渗流区，见图4.取dr的微元，设通过单位横截面A0的裂缝总数为Mc，裂缝的最大宽度和最小宽度分别为λa和λi，裂缝宽度ῶ大于λ的裂缝数量Mc满足

式中：D为裂缝宽度分形维数，量纲为一；-d Mc＞0为单位截面A0中所通过的宽度在λ与λ＋dλ之间裂缝折合数.

考虑实际地层中裂缝的弯曲特性，实际长度Le应遵循分形的基本公式，即

式中：δ为迂曲分维，量纲为一；L为裂缝外观长度.

根据裂缝面密度定义（观测面积内全部裂缝长度的总和与观测面积之比），裂缝宽度为λ的单条裂缝长度为dLe，图4中圆管面积为2πrh／A0，圆筒区域的裂缝面密度Df为

由流量定义可得到通过单位横截面流量为单条裂缝流量Q1（λ）与裂缝条数的乘积，即

式中：η0为裂缝深度；V为单位横截面的流量；p为压力；dp／dLe为压力梯度.

将式（4）代入式（6）中，整理可得

根据一般径向流达西公式，得

对式（7-8）从（rw，pw）到（re，pe）积分，可以得到裂缝的有效渗透率 Kn为

式中：re为供给半径；pe为供给压力.

裂缝体积系数fn为圆管区域的裂缝体积Vf与圆管总体积Vr之比，即

则“人造渗透率”，即体积压裂改造区的等效渗透率Ke为

式中：Km为基质渗透率.

3 产能数学模型

假设压裂改造体积为沿主裂缝对称的2×xf×b的椭圆柱体［9，13］，根据页岩油储层体积压裂改造后的流动特点，储层流体渗流分为2个区域（见图5）：一是体积压裂主裂缝内的线性达西流动；二是体积压裂改造形成的椭圆缝网区域的低速非达西流动.

3.1 基本假设

主要根据页岩油储层体积压裂井生产时流体的流动特征，考虑页岩油储层非线性渗流特征，建立页岩油体积压裂改造储层直井产能预测模型.假设：（1）页岩油储层为上下封闭且无限大地层；（2）对直井进行体积压裂，储层体积压裂改造后形成椭圆形的缝网，椭圆形体积改造区域短半轴长为b，焦距为主裂缝半长，见图5；（3）油藏和裂缝内流体为单相流体，不可压缩，渗流为等温稳定渗流，不考虑重力影响；（4）渗流过程中考虑启动压力梯度的影响.

3.2 主裂缝的线性流动

主干缝内流体的流动服从达西定律，属于线性流动，其运动方程为

其稳态流动表达式为

式中：Kf为主干缝渗透率.

对式（13）进行分离变量，并从（xf，pxf）到（rw，pw）积分，可以得到裂缝内流体的流量和压差之间的关系表达式，即

式中：pxf为主裂缝两端的压力；wf为主裂缝宽度；xf为主裂缝半长.

3.3 改造区的椭圆渗流

改造后储层椭圆渗流区直角坐标系（x，y）和椭圆坐标系（η，ξ）的关系为

式中：a、b分别为椭圆的长轴和短轴.

对于改造后的页岩油储层，其等效渗透率Ke即“人造渗透率”依然不高，该区域流动为非线性渗流，存在启动压力梯度，因此椭圆区稳态渗流的流量表达式为

式中：B为体积压缩因子.

结合式（17），对式（16）从（ξw，pxf）到（ξi，pe）进行积分，可以得到椭圆渗流区的流量与压差公式为

式中：ξw为井筒附近椭圆坐标；ξi为泄油区椭圆坐标.

3.4 二区耦合后产能解析式

根据两区交界处压力相等，对式（14）和式（18）联立，可以得出页岩油储层体积压裂改造后直井的产能解析解表达式，即

4 单井产能影响因素分析

以胜利油田某实验区块一口页岩油储层体积压裂直井为例，储层厚度为61m，原始地层压力为45.75 MPa，生产压差为20MPa，原油黏度为6.82mPa·s，原油密度为816.1kg·m-3，基质渗透率为0.001×10-3μm2，孔隙度为0.024，压裂裂缝半长为200m，缝宽为4mm，主裂缝渗透率为10μm2.初始分形参数：缝宽分形维数为1.1，迂曲分维为1.1.启动压力梯度由式（1）求得.将地质参数代入模型进行计算并分析参数影响因素.模型计算生产井初期产能为4.0t·d-1，而实际产量为3.7t·d-1，误差较小，说明本模型可靠性强.

4.1 体积压裂与常规压裂

体积压裂和常规压裂的直井产能见图6.由图6可知，由于页岩油储层具有致密性，常规压裂后基本没有产能，只能通过体积压裂改造储层沟通天然裂缝，形成缝网才能获得较高产能.

4.2 缝宽分形维数与裂缝面密度、基质—裂缝等效渗透率

不同迂曲分维时缝宽分形维数与裂缝面密度和基质—裂缝等效渗透率的关系见图7.由图7（a）可知，裂缝的缝宽分维和迂曲分维对裂缝面密度有很大影响，相同迂曲分维下，裂缝的面密度越大，裂缝分形维数越大，当迂曲分维为1.1，分形维数从1.0到1.8变化时，裂缝面密度从3m-1增长到20m-1；迂曲分维的增加即裂缝弯曲程度的增加，变相增加裂缝长度，也增加裂缝面密度.

由图7（b）可知，裂缝的分形维数和迂曲分维对等效后的基质—裂缝等效渗透率有很大影响，相同迂曲分维下，裂缝分形维数越大，裂缝条数越多，等效渗透率越大；迂曲分维的增加相当于延长流体流动的距离，尽管裂缝面密度增加，但等效渗透率减小.

4.3 产能影响

4.3.1 裂缝面密度、体积压裂宽度

不同裂缝面密度时体积压裂改造宽度与直井产能的关系见图8.由图8可知，在相同的裂缝面密度条件下，体积压裂改造储层越宽，产能越高；当裂缝面密度较小时，储层改造宽度的增加对提升单井产能影响较小；当裂缝面密度较大时，储层改造宽度的增加对提升单井产能影响巨大.

4.3.2 裂缝导流能力

不同次生缝导流能力时裂缝导流能力对产能的影响见图9.由图9可知，在相同次生缝导流能力条件下，主干缝导流能力越强，产能越高.在次生缝导流能力较低的情况下，主干缝导流能力的增加对产能提升较小；在次生缝导流能力很强的情况下，主干缝导流能力的增加对产能影响很大.

5 结论

（1）页岩油储层流体渗流存在启动压力梯度，具有强非线性特征，启动压力梯度大小与渗透率之间呈幂函数关系.

（2）采用分形理论，推导出裂缝储层等效渗透率、裂缝体积系数和裂缝面密度参数表达式，分形维数越大，裂缝面密度越大，等效渗透率越大.

（3）当裂缝面密度较大时，增加储层改造宽度对提升产能效果显著，当裂缝面密度较小时，增加储层改造宽度对产能提升效果很小；当次生缝导流能力较高时，增加主干缝导流能力对产能提升效果较强.因此现场应尽可能增加裂缝面密度和次生缝的导流能力提高产能.

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