王智明

数学概念是数学思维的起点，也是数学思维的节点。因此，在数学学习中概念的学习具有举足轻重的地位，也历来是教学研究的重点。有效数学学习要求教师让学生了解概念的由来和发展。度量概念作为数学概念的一种，它的教学始于学生的活动，是学生从活动到活动经验的提取、感知、形成表象的过程。所以数学活动与度量概念的学习是难舍难分的。度量概念与一般数学概念获得的心理过程及教学特征有所不同，对此，笔者拟对小学数学中的度量性概念进行研究并尝试给出度量性概念的教学建议。

一、度量性概念的概述

对于数学概念，有学者依据数学概念反映的属性不同对数学概念加以分类。反映数学的基本元素的概念（如点、线、数等）、反映两个及两个以上数学元素关系的概念（如平行、相等等）、反映数学元素内部特性的概念称之为对象性概念。还有一些概念，学习的意义不在于理解名词的意思，而在于用这个概念的内蕴观念或思想去解释现象或者解决问题，这样的概念称作观念性概念（如方程、概率等）。还有一些概念为了比较两个事物某个方面的差异，往往需要对该方面的差异进行量化，借助某个量来进行比较，为此引入了相应的度量，我们称之为度量性概念。就概念而言，度量性概念既包含了反映度量单位的概念，也表示了两个事物进行差异性量化的概念。

对象性概念可以在生活或数学中找到原型，我们也正是从生活及数学中的大量原型出发，从具体的、直观的例子中抽象出其共同的本质特征，同时人们为了交流说明的方便而给对象性概念赋予了一定的名称，可以说对象性概念是对更多原型的一种抽象概括。观念性概念在教学中会从丰富的背景中抽象出这些概念的定义，但是实际的教学会更关注这些概念的实际应用，会在众多的实际背景的运用中体现观念性概念的价值，形成相应的观念和思想。而度量性概念来源于生活，产生于生活中的比较，需要对比较的差异进行量化，因此要让学生经历概念产生的过程、概念单位累加的过程，形成度量性概念的观念，其名词概念的给出完全是人类心智的产物，经历了数学思维中的抽象、类比过程。

二、度量性概念获得的心理过程

在概念的教学中，我们大都熟悉概念形成、概念同化两种获得概念的方式。数学中对象性概念的获得主要依托这两种概念获得的方式。采用概念形成方式时，需要提供大量丰富的例子，概念的给出依赖丰富的原型；在运用概念同化方式时，在对新概念的反复辨析中改变了原有概念的内涵与外延，教学中也不自觉地应用于对象性概念。度量性概念则不同，它并不源于生活中的原型，而是基于任务的产生。学生在一定的任务情境中，通过“比”，利用人类的心智活动，产生了度量性概念，其产生的心理过程与概念形成和概念同化不同。

度量是因比较而存在的，没有比较就没有度量，因此度量性概念的产生大都来源于某种比较任务，在任务解决中感受建立比较标准（度量）的必要性。在适宜的任务情境下，通过认知冲突的激发，自然而然类比迁移、联想与“创造”浑然一体。因此，度量性概念的获得过程不是多种情境抽象概括的结果，而是人类在任务驱动下自主建构创造的过程。此时，度量性概念构建的心理过程可以描述为：

当学生没有自主建构概念的能力，也可以选用明晰概念的教学方式。例如：在教学“认识公顷”一课时，教师给出：明孝陵的面积为1700000平方米，玄武湖的面积为 4710000平方米，红山动物园的面积为830000平方米，奥体中心的面积为890000平方米等数据，让学生读一读感受这些景点面积的大小，发现学生在读这些景点的面积时得先数一数数位，数值太大读起来较麻烦，同时学生又有以“万”或“亿”做单位可以方便读数的知识经验，所以需要一个合适的更大的面积单位的出现。这时学生知道了问题出在哪里，也知道需要出现一个合适的更大的面积单位，但是放手让学生去建构，学生又说不出“平方××”，这时学生处在即将突破又很难突破的节点，就需要教师的帮助来捅破这层窗户纸，“我们在测量大的土地面积时用‘公顷’为单位，如果你是小老师，你将会介绍哪些有关公顷的知识”，出示自学要求从而进行认识公顷的学习。接着教师带领学生分别感受10米是多长，100米有多长，100平方米有多大。此时，学生的学习过程是一种有意义的接受过程，在这一过程中经历了对概念的了解、检验、感知、确认的过程。此时，度量性概念构建的心理过程可以描述为：

在上述两种概念的获得过程中，长度、面积、体积、角度这些度量性概念都具有相应的共性，可以通过提出任务、质疑、多元化的感知过程，再创造或者再指导性建构的方法获得概念。而刻画数据平均水平的和波动水平的度量性概念需要在所创设的一种比较的情境下（这样的比较可以是比较一般水平，也可以是比较差异水平）通过问题解决的方式，自主建构或者指导性建构获得概念。

三、度量性概念的教学建议

根据日常度量性概念的教学以及度量性概念的心理过程，笔者不揣浅薄地提出度量性概念教学的一些建议。

（一）在认知冲突中感受度量单位的产生

对象性概念有着丰富的生活或数学背景，获得概念是一种抽象概括的过程。观念性概念是在教师的“揭示”与学生的实际应用感悟中获得概念。而以往的度量性概念，往往采用了“掐去两头烧中段”的方式，学生不理解新知为何要学习，概念产生的源头在哪里。度量性概念来源于实际应用，在实际中或萌生了创造或类比了创造，经历了一番过程性的探究，感受了度量性概念的需要。通过度量冲突的创设，进行真正意义上的自主探究，解决新的问题是，原有的度量单位无法满足需要，需要一种新的度量单位的介入，使对度量概念的学习成为学生内在生成的主动诉求。例如常见的面积单位的教学。在教学平方分米、平方米的过程中，教师（故意）提出请大家用平方厘米测量一下课桌面的面积。（学生度量时面有难色）教师说，这样量，大家感到怎么样？学生回答：这样量太慢了。用平方厘米这个面积单位度量课桌面面积太小了。教师继续问：那怎么办呢？学生回答：我想有没有大一点的面积单位呢？师：大家真会想问题！这大一点的面积单位，就请大家来创造一下，叫什么呢？通过认知冲突的激发，让学生获得度量单位产生的实际需要，一种新单位的产生是在认知冲突下发自学生内心的。同时有长度单位的铺垫，让面积单位的产生经历了自然联想创造的过程。

当度量单位的产生学生无法类比时，教师需要在创设的认知冲突的情境中，通过一组指向单位产生的发问引发学生的思考。如平均数的学习源自一种比较，需要体会在比较情境中感知一般数据的代表即平均数。在教学平均数时，教师先给学生提供一个3分钟投篮比赛的情境。四位选手投中成绩如下：（1）5 5 5，（2）3 5 4，（3）3 7 2，（4）5 4 6。让学生在比较四位比赛选手投中个数的探究空间中，思考该用哪个数代表他们3分钟投篮的一般水平呢；通过小组讨论体会哪个投手的投篮水平更稳定。一个取自情境中的比较问题引发了学生围绕数据一般水平的代表来思考，更加反映了平均数概念产生的本真意义。如何来找一般数据的代表呢？教学过程同样在几组简单数据的探索中体会寻找数据代表的方法。通过直观的进球条形统计图，结合四组数据的比较，直观图示给学生一个暗示，第（1）组的3分钟投篮成绩是同一高度同一水平，所以学生选择“5”来代表第（1）组的投篮水平。在有了同一高度同一水平的暗示后学生在寻找（2）（3）（4）组的数据代表时就有了突破口，（2）（4）组通过直观的把多的移到少的上的操作，总结出移多补少的选择数据代表的方法，在选择（3）组的数据代表时不能通过一次的移多补少来解决，同时学生又有了选择（1）（2）（4）组的数据代表与投篮总个数有关的感知，所以学生根据直观图示探究出先合再分的方法，在这样一个自主探究的活动中获得平均数的概念。同时角度的学习过程，也创设了为了精确地比较两个角大小的度量冲突而发生的学习活动。因此，在教学中应尽可能多地给学生创设探究空间，激活学生的认知冲突，让学生在探究中感悟度量性概念产生的必要性，激发他们主动接受或是积极“创造”的愿望。

（二）在创造及比较中建构度量性概念

度量性概念的获得始于学生在探究空间的感知，在数学活动中积累经验，建构概念，形成表象。学生在活动中获得的数学活动经验有助于学生深化知识，同时高质量的数学活动经验的获得，一定程度上取决于活动本身是否充分、完整、多样。例如，有教师在教学完“认识面积单位”后，感悟到如果仅把活动目标定为感知每个面积单位的实际大小，学生获得的感性经验往往是不够全面的，所以度量性概念的建构与组织高质量、合适的数学活动有着举足轻重的关系。建构度量性概念需要强化感知和体验，感知是体验的前提，体验是感知的深化。教学中需要通过创设多种活动调动学生的各种感官，从各个维度丰富对度量性概念的从识，促进学生个体对概念的理解与建构。例如，教学“升和毫升”时教师安排了玩一玩1毫升的水，数一数1毫升的水会有几滴。玩一玩10毫升的水，用吸管吸10毫升的水挤入杯中，与1毫升比一比，有什么发现。玩一玩100毫升的水，倒在水杯中大概在什么位置。玩一玩1升的水，10个小组的组长将100毫升的水倒入空瓶中，感受1000毫升正好是1升。活动是经验的源泉，没有亲历实践活动就谈不上其中经验的积累。在活动过程中，有观察、有操作、有猜测、有验证，这些富有实效、充满情趣的体验，让学生不断与新的度量单位“亲密接触”，学生正是在对学习材料的第一手直接感受、体验中逐步获得，在动手的操作中获得了知识，丰富了个人的数学活动经验，获得了单位转换的规律性。又如在角度的教学中，为了让学生从实际生活体验中感知角度，体验角度的大小不同，教师首先给学生呈现三个角度不同的滑滑梯，第一个矮一些，最后一个最高，并提问：喜欢玩哪一个？学生不约而同选择玩第三个，因为学生在平时的游戏活动中有玩滑滑梯的经历，第三个最高玩起来速度快很刺激。学生在高低不同的滑滑梯活动中潜移默化地感知角度的不同，当教师再次追问还有什么不同，学生观察出角有不同，这时教师就可以顺势引入这些角有大小，那么滑滑梯的角度到底有多大呢？我们就需要测出角的大小，接着进行认识量角器和角的度量的学习。教师在课堂上提供的相应的图片，把学生置于玩滑滑梯的情境中，让学生在情境中回调自己前期的活动经验。学生经历或者参与一些数学活动，并不是就一定能获得充足有力的数学活动经验，因此引导学生及时反思把获得的活动经验上升为数学思考是课堂教学的一个重要环节，也是帮助学生积累和提升数学活动经验的一个重要渠道，这样才能把学生从最近的数学活动的起点带到最远的数学活动经验的终点，这才是一个完整和谐的教学过程。

（三）在应用中深化度量性概念的认知

准确建立度量性概念的表象，能帮助学生在新的问题情境中有意识地自觉唤醒已有认知，促进问题的解决。认识长度单位时，让学生在通过完成某一测量任务的活动中认识长度单位，在测量的过程中丰富长度单位的表象。认识面积单位时，让学生将面积与熟悉的事物联系起来，使学生形成不同面积单位的明确表象。认识体积单位时，调动各种感官促进学生对度量单位的理解与建构。认识角度及平均数时，把学生置于游戏的情境中，让学生在游戏体验中感知角度和平均数，在寻找度量和计算方法的过程中让其表象更加完整。表象的建立，一方面可以依托概念首次获得时的体验，形成概念的表象。另一方面还可以依托概念的应用以及概念的系统化的巩固，形成概念的准确表象。例如，在教学“认识公顷”一课中，在认识公顷概念后，教师安排了利用课前的情境复习巩固。回到课前的数据，明孝陵的面积、玄武湖的面积、红山动物园的面积、奥体中心的面积改用公顷做单位如何表示。通过再次利用课前的情境，学生将生活中有所体验的面积与表示的××公顷建立了一一对应的表象。接着教师再通过选择填入合适的单位巩固学生认知结构中的不同面积单位。填上合适的单位：南京师范大学的面积220（ ），拉萨路小学的面积6359 （ ），南京城区的面积76.34 （ ）。借着一组题目的练习巩固，学生不断地调动认知结构中的平方米、公顷的大致表象，并通过“百度”等网络工具验证大脑中的度量性概念的表象。对南京城区的面积而言，通过与大学面积作对照，学生开始疑惑了，“公顷是一种很大的面积单位，难道还有更大的面积单位，平方米，平方……”教师借着南京城区的面积引发了学生在完成公顷度量表象后思考更大的面积单位——平方千米。

度量性概念的教学有其共性的一面，如面积、体积、长度单位等概念的教学是有规律可循的。同时，概念的学习也是数学抽象的过程，为了降低概念学习的抽象程度，化抽象为形象直观，就需要学生参与数学活动，在活动中建构数学活动经验，形成对数学概念完善的表象，在这方面，笔者还需要进行更多的实践探索和理性思考。

（江苏第二师范学院 210013）