陈俊斌

同构是数学中一个重要的概念，若两代数系统同构，则其上的对象会有相同的属性和性质，对某个系统成立的命题在另一个系统上也就成立.因此，如果在某个数学领域发现了一个对象结构同构于某个结构，且对于该系统已经得到许多结论，那么这些结论就可以应用到另一领域.

高中数学新课程选修系列中增加了“矩阵与变换”的内容，本文将证明复数系统与某类矩阵系统同构，从而可以从矩阵与变换的观点看复数，另外，把矩阵与变换的问题转换成学生熟悉的复数问题，再从复数的某些运算性质猜测相应的矩阵与行列式运算性质，还可从复数的分类看该类矩阵结构中矩阵的分类，旨在提供矩阵方面与复数的一种视角，同时也能加强这两部分知识间的联系.

1.3两代数系统同构

2.从矩阵与变换的观点看复数

高中数学新课程选修系列中矩阵与变换知识的出现，使相关知识逐渐为人们所熟悉.而在复数的教学实践中，虚数单位的理解是个难点，因此，从矩阵也变换的观点看复数，既能加强这两部分知识的联系，又能加深学生对虚数单位数学本质的理解.

4.共轭复数运算与矩阵行列式运算

合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养.由于矩阵与复数系统的同构，使得它们具体相似的性质，因此可以采用类比的方法推测它们可能具有的性质.

5.从复数分类看部分矩阵的分类

对任一a+bi∈C■，根据a、b的不同取值情况，可将复数分为四大类：①零（a=0，b=0）；②非零实数（a≠0，b=0）；③纯虚数（a=0，b≠0）；④非实数且非纯虚数（a≠0，b≠0）.由对应法则（Ⅰ）有，上述四类复数分别对于矩阵0 00 0，a 00 a，0 -bb 0，a -bb a（a≠0，b≠0），亦即我们也可将C■中矩阵细分为上述四大类，而由矩阵知识我们可知四大类分别为零矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、“第四类矩阵”（a≠0，b≠0）（指C■中除前三类外的）.事实上，对任一方阵A，我们有A=B+C，其中B为对称矩阵，C为反对称矩阵，对应在C■中，即如下运算：a -ba a=a 00 a+0 -bb 0.应用对应法则（Ⅰ）则可得，任一复数（非实数的）复数可唯一地表示为一个实数与一个纯虚数的和.

数学中看似两个不相关的领域——复数和矩阵，经抽象概括后，可得到相同的数学理论，体现了数学的不同分支和不同内容之间的联系.应用同构的观点，让学生感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力.