李三华

(井冈山大学 数理学院数学系，江西 吉安 343009)

在高等院校数学系开设《初等数学研究》这一课程，主要是为了数学专业的学生将来能从事中学数学教育工作。众所周知，《初等数学研究》课程旨在“居高临下”地对初等数学从内容到理论体系、知识结构有一个系统深入的研究，［1］虽然这门课程中大多数概念和原理为学生所熟悉，但是学生学习这门课程的积极性不是很高，总觉得太简单而不像对待其他数学专业知识那么重视。另外，作为高校教育工作者有时会把高等数学与初等数学割裂开来，［2］不会考虑到用高等数学的思想、知识、方法来解决初等数学问题，也不会考虑把初等数学问题放在数学文化背景下教学，以身试教为学生作榜样。如此下去，学生在学习这门课程的时候，感觉自己还是像中学生一样处理初等数学问题，完全不会把所学的大学高等数学知识进行考虑问题，导致学生的思维能力回到了中学生时代的原点，更何况谈及学生创新思维能力、探索能力的培养与陶冶学生数学文化情操。

鉴于以上情况，从文化视角［3］下对初等数学研究教学中作了一些深入的改革，主要从高等数学知识在这门课程中充分挖掘与之相关的初等数学内容并如何调动学生学习的主动性，更新传统的数学教育观念、转变已有的教学方式，以符合现代数学教育目的的全面贯彻，即适合社会大众的需要。

1 利用高等数学知识挖掘初等数学研究中容易忽视的内容，注重学生的个人体验

初等数学是一门综合性学科，涉及了各个方面的数学知识，其内容看似简单，但与高等数学的牵连极其紧密，需要高等数学来进行研究解释缘由及发展过程，挖掘它所蕴含的数学概念内涵和外延、解题思路、数学文化等。因而在初等数学研究的教学中，结合高等数学的知识，提出课题，引导学生进行研究及查找文献资料。

1.1 突出数论在初等数学研究的教育文化价值，促使学生对问题的思考及解决

初等数学研究中一些细小的内容很容易被学生忽视，认为它们极其简单，其实不然，这些内容表面上看起来确实显而易见的，但是要学生说出其缘由来，估计很难道出个一二。这就需要教师利用高等数学来挖掘初等数学研究中细小内容。比如在有理数域中提到分数与小数互化:有理数，当分母n 的质因数只有2 和5 时，则可化为有限小数。当分母n 含有2 和5 以外的其它质因数时，则可化为循环小数。这个教学内容一不小心就会跳过，不会被学生注意到，就算看见了，也不会把它作为一个研究问题去考虑。因此，这就要求教师对这个内容的处理，如何引导学生进一步地探究这个问题的缘由以及相关研究问题。首先，引导学生把已经学过的数论的相关知识和定理从脑海中回顾起来，或者作为课堂讨论形式来说明为什么当分母n 的质因数只有2 和5 时，则可化为有限小数。而为什么当分母n 含有2 和5 以外的其它质因数时，则可化为循环小数，此时学生会发现循环小数分两种情形，一种是纯循环小数，另一种是混循环小数，接着提问具备什么条件下，有理数是纯循环还是混循环小数呢?然后要利用欧拉定理和费马定理在研究循环小数的作用，进一步深入说明有理数能表成纯循环小数的充分必要条件是n 与10 互质以及当分母n 的质因数只有2 和5，其他质因数与10 互质时，有理数可以表成混循环小数。在这个过程中，让学生查询数论资料来分析上述问题，在分析过程中，更能清楚地认识到同余、简化剩余系的概念及性质，并把这些性质来理解上述两个著名的定理。用数论的观点，使学生意识到课本上几行字间都能透出深奥的数学文化知识，使学生对在中小学时代在头脑中建构的认知结构进行了调整，对这部分知识的认识提高了层次，同时学习目的性增强了。利用数论知识指导初等数学研究的教学，学生自身的数学文化素养也得到了培养，进而更能激发学习的主动性。

1.2 初等数学研究也可激发学生对数学文化的情感

目前，数学文化已经逐步进入了大学数学各个学科的教学中，在初等数学研究的教学也不例外，也需要数学史融入其中，使教学内容丰富起来，不至于学生仅限于如何解题而感到疲乏，而且更助于学生理解其他高等数学知识，学生自身的数学文化素养也得到了进一步的提高。

比如数系的扩充，［4］首先自然数的产生，起源于人类在生产和生活中的需要。利用多媒体把绳结法和中国古代的甲骨文记数法展现出来，使学生从视觉上就知道了古代人们是如何来记数的以及认识我国古代的甲骨文中的“数”字，左边表示打结的绳，右边是一只手，表示古人用结绳记数，由此理科的学生也知道“数”是个象形文字。然后由有理数谈到实数，添了无理数。新数的产生不是一帆风顺的，正是由于它的发现，打破了毕达哥拉斯的“万物皆数”信条，［5］引起了数学界思想的混乱，导致了数学史上的第一次数学危机。接着当无理数的位置确定后，人们又发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，例如最简单的二次方程x2+1 = 0 在实数范围是没有解的。从12 世纪到16 世纪数学史上主要关心的问题是解决三次方程和四次方程，都要利用到负数平方根，在那个年代负数本身就是令人怀疑的，负数的平方根就更加荒谬了，所以有人称负数平方根是“不可捉摸而无用的东西”。直至17 世纪，“虚数”这个名词由著名数学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。虚数，人们开始称之为“实数的鬼魂”，1637 年笛卡儿称为“想像中的数”，后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。1777 年瑞士数学家欧拉(Euler)开始使用符号i 表示虚数的单位，创立了复变函数论，并把它们应用到水利学、地图绘制学上。19 岁的高斯通过复数原理，成功解决了正十七边形的尺规作图问题，同时将直角坐标平面上的点和复数建立了一一对应的关系，是复数领域的集大成者。至此虚数才广为人知。真是:虚数不虚。如此看来，数的产生都要经历几个世纪，才被大众接受，学生由此感觉到每个事物都是来之不易，感受到数学家们对数学高峰的坚强意志的攀登。利用数学史进行教学，不但使学生对数学中每个概念有了前前后后的了解，而且让学生得到了数学文化的熏陶，引导学生把数学家们对数学追求的精神带到学习当中去。

1.3 揭示初等数学研究内容与高等数学知识相互呼应，提高学生的数学思维品质

大家都知道，利用高等数学知识和方法研究初等数学的概念、原理、方法和问题，能使学生“居高临下”的学习，是主动接受信息和创造性思维的产生过程。反过来，初等数学的研究方法同样会对高等数学知识和方法产生巩固和启发的作用。

比如实数的概念，初等数学研究中首先给出正实数的定义:正的十进小数叫做正实数，然后定义实数是正实数、负实数和0 的总称。紧接着介绍有理闭区间套，运用数学分析的区间套定理说明存在唯一的一个实数。按照这个顺序讲解的话，学生可能会想这个有理闭区间套定理怎么凭空产生的呢。不妨先从康托的基本序列说来介绍实数的定义，它是指有理数的基本序列的等价类称为实数。其基本思想:把无限小数看作是一个有限小数序列的极限，例如:1.4，1.41，1.414，1.4142，……。再介绍戴德金分割说:有理数的戴德金分割称为实数，有端点分割称为有理数，无端点分割称为无理数。它的基本思想是:有理数在直线上分布是稠密的，但是不连续的，存在“漏洞”。“洞”是一个无法从自身的结构来定义的概念，但是“洞”在直线上对其他点起到“分割”的作用。如此这样，学生自然而然觉得构造有理区间套是有历史依据的，只要取这个实数的不足近似值和过剩近似值，构成一系列的有理数列。同时，学生也就明白了数学分析课本中如何会有闭区间套定理也是现实背景材料的，也致使学生在这方面的数学思维结构更加巩固和提高。另外，初等数学研究还介绍实数的加减乘除以及开方都是构造了一系列不同的有理区间套来进行证明的，学生读到这里，心里也就一切开阔明亮了，不需要像以前读数学分析中的闭区间套定理只是死背死理解，那么在此就有很好的实例加以深刻理解。

2 转变初等数学研究的教学方式，扩大学生的活动探究领域

初等数学中的各个部分，各个专题的题目都很多，学生学习它们不可能像中学生一样，仍处于中学时代所学习的知识、方法来解决问题或者一味地机械做题，使初等数学脱离了高等数学，无法达到教育的首要目标在于造就能够创新的人才。这就希望教师精心策划教学内容，结合学生特点，把教材处理得当，引导学生从被动地接受知识转变到主动地、创新地组成自己的知识结构，给学生一个活动探究空间。

2.1 在初等数学研究中引导学生运用数学思维进行探索，还原数学方法本貌

数学方法是从个别的解题目的过程中，提炼出普遍的、一般方法，反过来再用数学方法来指导解决具体问题，这些对于教师来都是非常重要的能力，那么在初等数学研究教学中更加要给学生充分的探究空间，［6］还原数学方法本来形成的过程。

比如多项式的因式分解，是一种与多项式乘法相反的恒等变形过程。和多项式乘法有固定的运算程序截然不同，因式分解往往使人感到难度较大，没有刻板程式可以依循，有一些突发奇想的因式分解的高度技巧性，也是学生难以想到的。在此，我们就是要把这种高度技巧性的数学方法给还原出来。例如，在有理数集内分解x5+ x－1 的因式，课本上的解法就是由视察法，本题无一次因式。因为x5和x 的次数相差太大，可考虑添加一些中间项，使它们产生联系，即x5+ x－1 = x5+ x2－x2+ x－1 = x2(x3+1)－ (x2－ x +1)= x2(x +1)(x2－x +1)－ (x2－x +1)= (x2－x+1)(x3+x2－1)。面对这些陌生的因式分解题，为什么要添加中间项这一方法，往往使人感到束手无策。下面我们就还原这个过程。先用综合除法分析原式在有理数集上没有一次因式。假定原式含有x 的二次因式和x 的三次因式。设x5+ x－1 = (x2+ mx + n)(x3+ kx2+ lx + q)= x5+ (k+ m)x4+ (l + mk + n)x3+ (q + ml + kn)x2+ (mq + nl)x +nq，比较等式两端对应项的系数，经合理计算得出m =－1，n = 1，k = 1，l = 0，q =－1 。此过程完全可由学生自己推算出来，如同起初研究者一样，研究解题思路，还原解题方法，归纳总结一系列的类似题型，得出经验。当然，经过这样的思维和联想，继而培养自己的联想能力和发散思维能力，这都是有效的途径。再次碰到类似题型就知道要添加哪些中间项，如何分组分解，如在有理数域上分解x4+x3－5x－3 的因式，也是添加中间项x2，得到原式= x4－x + x3+x2－2x－x2－2x－3 = x(x3－1)+x(x2+x－2)－(x2+2x +3)= x(x－1)(x2+2x +3)－(x2+2x +3)= (x2+2x +3)(x2－x－1)。

2.2 在初等数学研究中引导学生对案例进行反思，转变学生自己的角色

在初等数学研究的教学过程中，有时候不需要讲太深奥的知识以及中学不涉及的问题与方法，而多讲中学数学未探索的又对中学数学有用的东西，讲一些学生在中学时代容易忽略的问题。

如方程是初等代数最基本的内容之一，在数学各分支及其它许多学科中都有广泛的应用。方程和方程组的中心问题是求解，现代数学教育中的方程理论，是以集合和函数概念为基础、以解析式的恒等变形为主要工具展开。大家都知道解方程的过程，是通过对等式两边的解析式进行一系列变形来实现的，在变形过程中要判别方程的解是否“失真”，在中学里老师只是告诉学生哪些方程该要注意失根或增根，对于“为什么”的问题没有给出具体的理论依据。在初等数学研究中，教师提出以上问题，引导学生在课本里寻找真正的答案。此时，学生就要把自己当成一个老师，指出方程的解是否“失真”，与方程的同解性有关，即方程经过恒等变形后，新方程与原方程的定义域要相同，则两个方程才同解。有了这个定理，对于常见方程的解法的同解性分析，就变得简单多了，例如分式方程、无理方程等，再也不需要像中学一样进行机械地记忆并出错，容易忘记。

初等数学研究还涉及到一些中学数学的边缘问题。比如方程组的解法，如果一个二元二次方程组中有一个是二元一次方程，或者两个都是二元二次方程，但可通过加减消元法消去二次项或其中有一个可以分解成一次因式的，这些在中学数学里都有详述。但是一些特殊类型的二元二次与二元三次方程组，就要根据方程组的具体特征，采用适当方法消元、降次及分解因式等。对于方程组内至少有一个初等超越方程，它没有系统的初等解法可循，但对于某些特殊的超越方程组，则可根据其特点采用适当的初等方法求解，并依据有关函数的性质，结合所给方程的具体特征考虑其解法。这些问题，教师都可以适当地举例，引导学生动手动脑，让学生自己尝试分析一个题目或讲述一个专题，教师加以指导、补充。

［1］张志敏. 充分发挥《初等数学研究》课的教育教学价值［J］. 数学教育学报，1996，5(1):86－90.

［2］邵光华. 高师数学教育专业“初等数学研究”教学改革初探［J］. 数学教育学报，1996，5(3):42－45.

［3］邓东皋，孙小礼，张祖贵. 数学与文化［M］. 北京:北京大学出版社，1990.

［4］李长明，周焕山. 初等数学研究［M］. 北京:高等教育出版社，1995.

［5］李文林. 数学史概论［M］. 北京:高等教育出版社，2000.

［6］刘忠东.《数学课程与教学论》课堂的主体性分析和教学模式构建［J］. 宜春学院学报，2012，34(12):142－145.