马艳秀 王华

摘 要：本文首先给出Taylor公式的三种微分型余项形式，并利用三种余项间的关系得到微分余项的统一形式，再根据中值定理以及牛顿——莱布尼兹公式得到Taylor公式的积分型余项，最后，阐述了微分型余项和积分型余项的转换关系。

关键词：Taylor公式 Peano Lagrange Cauchy型余项 微分型余项 积分型余项

Taylor公式余项分析目的：

1）估计用n阶Taylor多项式表示函数时的误差；

2）考察函数的Taylor级数是否收敛于该函数，即 是否成立。

一、Taylor 公式及三种微分型余项形式

若函数f（x）在U（x0）内具有直到（n+1）阶导数，则

1.Peano形式余项

Rn（x）=0（（x-xo）n）称为Peano余项。

2.Lagrange形式余项：

称为Lagrange余项。

3.Cauchy型余项

称为Cauchy余项

4.结论：根据Lagrange余项和Cauchy余项的关系，Taylor公式的微分型余项可归纳为 。

此余项当m=n即为Lagrange余项；而当m=0即为Cauchy余项。

二、Taylor公式积分型余项

Taylor公式的Lagrange余项形式，实际上是Lagrange中值定理的一种推广。 就是零阶微分中值定理具有的积分形式。n阶微分中值定理也具有积分形式

于是

Taylor公式的积分型余项：设f（x）在U（x0）有直到n+1阶连续导数。则对任何 有

三、微分型余项与积分型余项的关系

对积分型余项用第一积分中值定理

即为Lagrange余项。

由f （n+1）（x）在U（x0）有界，就有 。即Rn（x）=0（（x-xo）n）即为Peano余项。

当f （n+1）（t）（x-t）n是连续函数，据积分平均值定理，有

即为Cauchy余项。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京.高等教育出版社.1991.363

[2]格·马·菲赫金哥尔茨.微积分学教程.第一卷。北京大学高等数学教研室译.高等教育出版社 1956

[3]徐利治.王兴华.数学分析的方法及例题选讲（修订版）.高等教育出版社.1984