范广法

与往年一样，2015年高考理科压轴题（第20题）仍然延续了往年的风格，保持对不等式的考查，不同的是今年的压轴题以迭代数列为背景，往年多以函数和导数的内容为依托.今年的压轴题构思更精巧，设计别出心裁，解答长度大大缩短，给学生更多的思维空间，题目简约不简单.

题目 已知数列{an}满足a1=12且an+1=an-a2n（n∈N*）.

（Ⅰ）证明：1≤anan+1≤2（n∈N*）;

（Ⅱ）设数列{a2n}的前n项和为Sn，证明12（n+2）≤Snn≤12（n+1）（n∈N*）.

1 解题的“切入点”与“突破口”分析

根据递推关系，本题中的数列{an}认为是在给定首项a1后，由递推公式an+1=f（an）（其中f（x）=x-x2）反复迭代生成的数列.这时把{an}叫迭代数列，显然迭代数列{an}由函数y=f（x）与首项a1共同确定.以迭代数列为背景的题目，浙江考生遇到的不多，显得有些神秘.我们知道数形结合既是寻找问题解决切入点的“法宝”，又是优化解题途径的“良方”，因此在解题时，能画图的尽量画出图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题.注意到f（x）=x-x2是非常熟悉的函数，因此可尝试将数列{an}中的项表示在图形中，借此来获取{an}的性质.但凡迭代数列可尝试从数形结合的角度切入.

图1

如右图，过点（a1，0）作x轴的垂线交曲线y=f（x）于A1，交直线y=x于B1，再过A1作A1B1的垂线交直线y=x于B2，过B2作A1B2的垂线交曲线y=f（x）于A2，依此类推，反复作垂线得到一系列的点Ak（ak，ak+1），Bk（ak，ak），当正整数k由小到大变化时，通过观察点Ak或Bk位置变化情况可获取数列{an}的性质，如单调性、有界性等.由上图（有人把这种图叫做迭代图）可知{an}必满足0<an≤12，且an+1<an，这两点是解决第（Ⅰ）问乃至本题的切入点.

要证明第（Ⅱ）问，实际上是证明2（n+1）≤nSn≤2（n+2），它的左右两边是……