1  2015年高考北京卷数学（理科）压轴题及其参考答案

高考题1 （2015年高考北京卷数学（理科）第20题）已知数列{an}满足：a1∈N*，a1≤36，且an+1=2an （an≤18）

2an-36 （an>18）（n=1，2，…）.记集合M={an|n∈N*}.

（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素;

（Ⅱ）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数;

（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值.

参考答案 （Ⅰ）当a1=6时，由所给的递推式可得数列{an}：6，12，24，12，24，…，所以M={6，12，24}，即集合M的所有元素分别是6，12，24.

（Ⅱ）假设a1不是3的倍数，由所给的递推式及数学归纳法可得an（n∈N*）均不是3的倍数.这与题设相矛盾！所以a1是3的倍数.再由所给的递推式及数学归纳法可得an（n∈N*）均是3的倍数，即M的所有元素都是3的倍数.

（Ⅲ）用数学归纳法易证an≤36（n∈N*）.

易知a2是偶数，再用数学归纳法易证an（n∈N*，n≥3）是4的倍数.

由所给的递推式可得，an+1与2an（n∈N*）被9除所得的余数相等.

①若数列{an}的项中有3的倍数，则由（Ⅱ）的结论知，an（n∈N*）均是3的倍数.所以a1被9除所得的余数是0，3，或6.

由此可得数列{an}的项被9除所得的余数依次为0，0，…;或3，6，3，6，…;或6，3，6，3，….

在不大于36的正整数中：被9除余0且是4的倍数的只有36，被9除余3且是4的倍数的数只有12，被9除余6且是4的倍数的数只有24.

所以数列{an}的项从第3项开始必呈现周期性变化，且周期是1或2.

得此时集合M的元素个数至多是2+2=4.

②若数列{an}的项均不是3的倍数，则a3被9除所得的余数只可能是1，4，7，2，5，8.再由递推式可得，数列{an}的项从第3项起被9除所得的余数呈现周期性变化，且周期分别是1，2，4，8，7，5;4，8，7，5，1，2;7，5，1，2，4，8;2，4，8，7，5，1;5，1，2，4，8，7;8，7，5，1，2，4.

又呈现周期性变化的每个数都是4的倍数且不大于36，所以1，2，4，8，7，5对应的数分别是28，20，4，8，16，32.

得此时集合M的元素个数至多是2+6=8.

又当a1=1时，可得M={1，2，4，8，16，32，28，20}，所以集合M的元素个数是8.

综上所述，可得集合M的元素个……