题目 设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中x∈R.

（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由;

（Ⅱ）若x>0，f（x）≥0成立，求a的取值范围.

1 解题思路分析与解题方法

（Ⅰ）思路 首先确定函数f（x）的定义域，求f（x）的导函数，导函数式进行化简，然后考查分子对应的函数g（x），先讨论g（x）是否为二次函数，后讨论g（x）是二次函数时实根的分布情况，从而确定g（x）、f′（x）的符号，得出函数f（x）单调区间，判断出函数f（x）的极值点个数.

解法1 由题意，知函数f（x）的定义域为（-1，+∞），f′（x）=1x+1+a（2x-1）=

2ax2+ax-a+1x+1.

令g（x）=2ax2+ax-a+1，x∈（-1，+∞）.

（1）若a=0，则g（x）=1.此时f′（x）=1x+1>0，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递增，无极值点.

（2）若a>0，Δ=a2-8a（1-a）=a（9a-8）.

当0<a≤89时，Δ≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递增，无极值点.

当a>89时，Δ>0，设g（x）=0的两个实根为x1，x2（不妨x1<x2），由韦达定理知x1+x2=-12（或二次函数g（x）的对称轴为直线x=-14），所以x1<-14，x2>-14.又g（-1）=1>0，所以-1<x1<-14.所以在区间（-1，x1）上，g（x）>0，f′（x）>0，f（x）单调递增;在区间（x1，x2）上，g（x）<0，f′（x）<0，f（x）单调递减;在区间（x2，+∞）上，g（x）>0，f′（x）>0，f（x）单调递增;因此函数f（x）有两个极值点.

（3）若a<0，Δ>0，由g（-1）=1>0和二次函数的图象性质，得x1<-1，x2>-1.所以在区间（-1，x2）上，g（x）>0，f′（x）>0，f（x）单调递增;在区间（x2，+∞）上，g（x）<0，f′（x）<0，f（x）单调递减;因此函数f（x）有一个极值点.

综上所述，当a<0时，函数f（x）有一个极值点;当0≤a≤89时，函数f（x）无极值点;当a>89时，函数f（x）有两个极值点.

解法2 由题意，知函数f（x）的定义域为（-1，+∞），f′（x）=1x+1+a（2x-1）=2ax2+ax-a+1x+1.

令g（x）=2ax2+ax-a+1，x∈（-1，+∞）.

（1）若a=0，则g（x）=1.此时f′（x）=1x+1>0，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递增，无极值点.

（2）若a≠0，Δ=a2-8a（1-a）=a（9a-8）.

当Δ≤0时，0<a≤89，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递增，无极值点.

当Δ>0时，a<0或a>89，由一元二次方程的求根公式，得g（x）=0两个不等实根为x1=-a-Δ4a=-14-9a2-8a4a，x2=-a+Δ4a=-14+9a2-8a4a.①a<0时，x1=-14+149-8a>-14>-1，x2=-14-149-8a<-14-34<-1，所以在区间（-1，x1）上，g（x）>0，f′（x）>0，f（x）单调递增;在区间（x1，+∞）上，g（x）<0，f′（x）<0，f（x）单调递减;因此函数f（x）有一个极值点.②a>89时，x1=-14-149-8a>-14-34=-1，又x2>x1，所以x2>x1>-1.所以在区间（-1，x1）上，g（x）>0，f′（x）>0，f（x）单调递增;在区间（x1，x2）上，g（x）<0，f′（x）<0，f（x）单调递减;在区间（x2，+∞）上，g（x）>0，f′（x）>0，f（x）单调递增;因此函数f（x）有两个极值点.

综上所述，当a<0时，函数f（x）有一个极值点;当0≤a≤89时，函数f（x）无极值点;当a>89时，函数f（x）有两个极值点.

点评 g（x）为二次函数时，解法1确定g（x）符……