☉江苏省平潮高级中学 周 炎

左右兼顾
——谈分段函数问题的解答

☉江苏省平潮高级中学 周 炎

分段函数是高考的热点之一，分段函数，顾名思义，其函数在不同定义域范围内，有不同的解析式，其内容涉及求值、定义域、值域、解析式、奇偶性、单调性、图像、方程、不等式等多方面知识.因此在处理分段函数问题时必须左右兼顾，方可防止错解.下面举例说明.

一、针对不同自变量，由内到外逐层求函数值

解析：当a≥1时，f（a）=2a>1，所以f（f（a））=2f（a）；当a<1时，f（a）=3a-1.若f（f（a））=2f（a），则f（a）≥1，即3a-1≥1，所.故选C.

点评：不同的自变量，有不同的解析式，针对不同自变量，选取对应函数表达式，由内到外逐层求函数值.

二、“不重不漏”求分段区间的解析式

例2（2014年安徽高考）定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），若当0≤x≤1时，f（x）=x（1-x）.则当-1≤x≤0时，f（x）=___________.

解析：当-1≤x≤0时，有0≤x+1≤1，则f（x+1）=（x+ 1）［1-（x+1）］.

又因为f（x+1）=2f（x），所以2f（x）=（x+1）［1-（x+1）］.

点评：“求谁设谁”，求哪个区间的解析式，x就设在哪个区间内，然后代入已知区间的解析式，利用奇偶性解出f（x）.求分段函数的解析式时，分别求出定义域内各段对应的解析式，再组合在一起，要注意各区间内的点要“不重不漏”，求哪个区间的解析式，就把x设在哪个区间上.

变式：已知y＝f（x）+x2是奇函数，且f（1）＝1.若g（x）＝f（x）+2，则g（-1）＝________.

答案：-1.

三、分段函数的单调性，由局部到整体

例3（2015年北京高考模拟）已知a>0，函数f（x）=则实数t的取值范围为（）.

点评：本题属于利用函数单调性求参数范围问题，判断分段函数的单调性时，首先应该判断各段函数的单调性，若每一段函数单调性一致，再判断分界点处函数值的关系，符合单调性定义，则该函数在整个定义域上单调递增或递减，不……