☉云南省大理州漾濞县第一中学 秦庆雄

☉云南省大理州漾濞县第一中学 范花妹

活用三角形射影定理解高考题更精彩

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一、缘起

早在1990年，就有老师撰文“建议在中学数学教材中补充射影定理公式”，在普通高中新课程标准实验教材数学必修5（人教A版）第22页，编者虽以习题的形式让三角形射影定理崭露头角，但仍没有将其命名为三角形射影定理.

三角形射影定理，其结构优美、和谐，可以和三角形中赫赫有名的正弦定理和余弦定理相媲美，是揭示三角形边角关系的重要定理之一.

笔者发现，很多有关三角形边角关系的高考试题，若能灵活、恰当地应用三角形射影定理，往往比用正弦定理或余弦定理更加快速、简捷，可使问题化繁为简、化难为易，收到事半功倍的效果.

二、什么是三角形射影定理

在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，则有：

a=bcosC+ccosB，

b=ccosA+acosC，

c=acosB+bcosA.

三、三角形射影定理的证明

证明：（1）当△ABC为直角三角形时（如图1），不妨设角B为直角，由直角三角形边角关系得a=bcosC，又cosB=0，所以a=bcosC+ccosB；

（2）当△ABC为锐角三角形时（如图2），过点A作AD⊥BC，垂足为D，由直角三角形边角关系得BD= ccosB，DC=bcosC，所以a=BD+DC=ccosB+bcosC.

（3）当△ABC为钝角三角形时（如图3），不妨设角B为钝角，过点A作AD⊥BC，垂足为D，由直角三角形边角关系得DC=bcosC，BD=ccos∠ABD=ccos（π-B）=-ccosB，所以a=DC-DB=bcosC-（-ccosB）=bcosC+ccosB.

综上所述，在任意△ABC中，都有a=bcosC+ccosB.

同理可证b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA.

图1

图2

图3

评注：在三角形射影定理颇多的证明中，上述证明显然是最烦琐，但却是最直观的.三角形射影定理的几何意义从证明……