戴宏照+周密

平面向量是高中数学的基础知识，具有广泛的应用，是高考的必考考点. 而且近年的相关试题越来越灵活，凸显对学生能力的考查，有部分学生感觉难以下手，或者不得要领，无果而终.为此，我们认为在平面向量的学习或复习中，应重视平面向量“四化”，即图形化、坐标化、数量化、函数化，加强针对性训练，培养学生思维的目的性、深刻性、广阔性、灵活性和批判性，提升思维品质和解决问题的能力.

一、平面向量图形化

平面向量具有代数和几何的双重属性，解决向量问题要充分利用图形的直观性，用好基底、向量加减运算的三角形法则和平行四边形法则，数量积运算的垂直或圆的几何意义或性质来构造相应的几何图形.平面向量图形化体现的是数形结合的数学思想.

例1  已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4，若存在非零实数x，y，使得=x+y，且x+2y=1，记∠BAC=θ，则cosθ=           .

思维展示：=x+y，且x+2y=1，联想到P，A，B三点共线的充要条件是=λ+μ，其中λ+μ=1.如图1，取AC中点D，上式变为=x+2y外心O在中线BD上？圯BA=BCcosθ=.

例2  在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，a=b=1，a·b=0，点Q满足=（a+b），曲线C={=acosθ+bsinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={0

A. 1

C. r≤1

思维展示：由a，b是垂直的单位向量，可考虑设a=（1，0），b=（0，1），透过向量的形式认识其本质，Q点的坐标为（，），曲线C就是单位圆，区域Ω就是半径从r到R（含边界）的圆环（如图2），从图中容易看出满足1

例3  已知点P是△ABC的中线AD的中点，过点P作直线交边AB，AC或其延长线于E，F两点，若AE∶AB=m，AF∶AC=n.求证：+是定值.

思维展示：如图3，这是点P分线段EF的一个分点问题，对向量算两次、列方程得到m，n的关系.设基底向量=a，=b，由AE∶AB=m，AF∶AC==m=ma，=n=nb，P，D分别是线段BC，AD的……