张安军

[摘 要] 本文以人教版初中数学中的“填幻方”为例，阐述了教学中教师应深挖“观察与思考”“实验与探究”和“观察与猜想”内容，以提高学生学习数学的兴趣，以及提高其提出问题、解决问题的能力.

[关键词] 幻方；观察与猜想；数学美；挖掘

人教版义务教育初中数学教材中的每册都有“观察与思考”“实验与探究”和“观察与猜想”，统计新人教版七至九年级共6册中的“阅读材料”，数量如下：

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那么，编写这些阅读材料有何意图呢？人教版主编章建跃所言：教材设置的“观察与猜想”“实验与探究”“阅读与思考”等选学栏目，开阔了学生的视野，为学有余力的学生提供了丰富的学习素材；对培养学生的自主学习能力、数学能力等都有很好的作用.

“阅读材料”是教材的延伸和拓展，能扩大学生的视野，拓宽学生的知识面，促进学生思维的发展，培养学生的创新意识，从而提高学生的综合素质. 同时，它又能使学生加深对课本知识的理解，并从中提高提出问题、分析问题和解决问题的能力. 例如七年级（上）“实验与探究”中的“填幻方”：

有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫做幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9. 每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是15. 如果火星上有智能生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）.

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你能将-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4这9个数分别填入图2幻方的9个空格中，使得处于同一横行、每一竖列、同一斜对角线上的3个数相加都得0吗？你是将0填入中央的格中吗？与同学交流一下，看看你们填这个幻方的方法相同吗？

上述“实验与探究”栏目仅200多字，如果原样按照书上的要求，学生很快且很容易会得到结果，这样会让学生如蜻蜓点水一闪而过，总感觉会遗失宝贵的教学资源，并且仔细翻阅整个初中教材里9篇“实验与探究”，如“瓶子中有多少粒豆子”“巧拼正方形”“设计跑道”“推测植物的生长与温度的关系”等，不难发现，这些短少的篇幅都蕴涵共同的特点：以一些有趣的实际问题或游戏等为背景，用所学过的数学知识解决实际生活中的应用问题，强调探索、发现和再创造；同时，通过解决问题让学生认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，使学生不仅在数学知识和能力方面得到提高，而且能感受到数学文化的熏陶，逐步提高科学文化素养和应用意识.

那么，如何开发和挖掘“实验与探究”的教学资源，促进学生体验数学和生活的广泛联系，学会运用数学的思维进行数学思考，增强数学的文化品格和工具品格？以下是笔者对“填幻方”这一“实验与探究”所作的一次实践探索，希望对一线的广大教师有所启发.

■ 教学设计

1. 创设情境，引入课题

1977年，美国发射了“旅行者”1号和2号宇宙飞船，试图与“外星人”建立联系. 如何使地球外智慧生命理解地球人的意思，这是个很困难的事情，世界各国的人们纷纷献计献策，美国宇航局采纳了其中一些. 最后，飞船上携带有两件与数学有关的东西，你知道是哪两样吗？

设计意图：通过学生比较感兴趣的“外星人”，吸引学生的注意力，同时让学生感受到“幻方”在数学史上占有重要的地位. 其次，中国古代也有辉煌的数学成绩，“勾股定理”“纵横图”和“孙子定理”等则是这些光辉成就的代表，其中“纵横图”在历史上又称为“河图”或“洛书”，这也是中国古代数学对世界的贡献，同时，数学无国界，越是民族的，精华的，越是世界的.

2. 欣赏幻方，探索规律

问题1：请欣赏如图3所示的“三阶幻方”，观察它表中的数据有什么特点.

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问题2：探索了“三阶幻方”的规律后，你还会提出哪些问题？

设计意图：通过学生观察“三阶幻方”的数字特点，总结各行、各列、各对角线的数字之和都相等，且等于所有数字之和除以3. 有了“三阶幻方”直观、感性的认识后，正当学生的兴趣慢慢减弱，此时，让学生根据数学的精神、思想方法和特点，培养学生提出数学问题的能力. 如数学家吴文俊先生坦言，“我们独创的东西不够，开创一个领域，让全世界的人跟着你，这类东西不够. ”数学重要的不是做题，而是提出问题，做题那是时间问题，而提出问题需要想象力、创造力和数学的直观能力. 提出的问题本身比较开放，如“三阶幻方”怎样填写？为什么5要在“三阶幻方”的中心？“三阶幻方”的填写是唯一的吗？第一个发现“三阶幻方”的是谁？除了用连续的自然数填写外，能用其他的整数填写吗？

问题3：请用1至9的自然数再填写一个“三阶幻方”.

问题4：把自己所构造的“三阶幻方”与其他同学交流，数字上有什么变化？

设计意图：由“三阶幻方”的数字特征进行规律探索，有了规律指导后再自己填写. 由于每个学生填写的不全一样，如图4和图5，共有8种（可以由图3通过对称和旋转得到），这样便可从各种“三阶幻方”表中发现哪些数字在变化，哪些数字固定不变. 很显然，5一定在幻方的中心. 进一步还会发现，偶数2，4，6，8一定在幻方的四个角上. 通过操作、发现、猜想、验证、推理，能培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力.

3. 变式和拓展

问题5：下面各组数能否填“三阶幻方”？ 若能填，任意填出一种情况.

（1） 8，9，10，11，12，13，14，15，16；

（2） 8，6，4，2，0，-2，-4，-6，-8；

（3）b-1，b-2，b-3，b-4，b-5，b-6，b-8，b-9.

问题6：爱因斯坦曾出过一道填数题：如图6所示的9个圆圈，有3个小的等腰三角形，1个较大的等腰三角形和3个大的等腰三角形. 将1至9这九个数字填入圆圈，要求这7个等腰三角形中每个三角形顶点的数字之和相等.endprint

问题7：九张扑克牌，分别是A（作为1点），2， 3，…， 9， 翻在桌子上，两人轮流取牌，已取走的牌不能重新放回去，谁手中有3张牌且点数加起来和等于15，谁就赢，你认为先取牌有利还是后取牌有利？

设计意图：这3道练习题是一组变式练习，问题5通过改变数字条件推广结论，突显幻方的本质；问题6是填写数字，原来标准的正方形的“三阶幻方”，现变成由一系列等腰三角形构成的复杂图形，但本质是“三阶幻方”，使等腰三角形的数字之和相等，都等于15；问题7是通过改变问题的情境，把填幻方变成扑克牌游戏. 为了赢得游戏，必须先抢得幻方正中心的数字5. 练习题的形式多样，能激发学生的学习积极性，同时，通过不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换事物的非本质特征以突出事物的本质特征. 转换问题的形式和内容，能有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质探究“变”的规律.■

4. “幻方”的发展史

（1）“幻方”的起源

关于幻方的起源，中国有“河图”和“洛书”之说. 相传，在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马（如图7所示），背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方. 伏羲氏凭借着“河图”演绎出了八卦. 后来，大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”（如图8所示）. “洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个. 把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个数. 这九个数就可以组成一个纵横图，人们把由九个数3行3列的幻方称为三阶幻方，除此之外，还有四阶、五阶……

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《易经·系辞》说： “河出图，洛出书，圣人则效之. ”中国古代“圣人”借鉴“河图、洛书”隐含着的规律，深刻体会到人类社会和自然界一样也是相互制约、均衡统一的一个大系统. 借鉴这种思想制定国家的法律，借鉴这种思想用于工程的建设，借鉴这种思想用于医学……

？摇由于“幻方”反映了自然数的一些神秘而有趣的性质，同时，研究幻方也不需要数学积累和高深的数学知识，因此幻方成为中国古代人们喜爱的一种游戏，激发着中华儿女的想象力和创造力，以满足思维上带来的成就感和愉悦. 幻方在中国产生之后，流传到阿拉伯、印度、欧洲……在欧洲和美洲等地区，人们常戴着有“幻方”的装饰品，作为驱邪避凶的吉祥物，可见，幻方具有某种神奇的魅力.

设计意图：一方面让学生体会到我国古人对“幻方”有很早的认识. 由于幻方隐含着某些数字的神秘色彩，以及“河图”“洛书”所衍生出的数理符号和《易经》数学，激发中华儿女对幻方的兴趣，且由于这些神秘符号，使得中国的组合数学在相当长的时间处于世界领先地位. 其次，让学生感受到，在数学历史的长河中，人们一直对幻方有着浓厚的兴趣，只要你愿意，你在幻方的世界里，都会有所发现，在审美上会感受到幻方的均衡美、对称美.

（2）中国古代数学家对幻方的研究

幻方除了三阶而外，是否还存在其他阶数的幻方呢？在填写幻方时，是否有更简便的方法呢？历史上是否有人研究过幻方呢？

中国古代南宋数学家杨辉曾系统研究过幻方，他在1275年出版过《续古摘奇算法》. 在这本书中，除了三阶幻方外，他还研究了四阶～十阶的幻方，这是历史最早系统发表的高阶幻方. 在书中，杨辉给出了一个非常巧妙的构造口诀：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺进”. 具体操作如图9所示.

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对于四阶幻方，杨辉给出如图10所示的两幅图，一幅叫阴图，另一幅叫阳图（又名“花十六图”）. 并且杨辉对四阶幻方的构造方法也做了详细叙述，如图11所示.

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书中还给出五阶至十阶的幻方图，有兴趣的同学可以参阅陈重穆写的《幻方》，这里不再作介绍. 幻方在中国产生之后，流传到阿拉伯和印度，一直到15世纪才传到欧洲. 16 世纪，幻方在欧洲引起了热潮，法国数学家巴谢（1581～1638）首先给出了四阶幻方和五阶幻方的构造方法.

问题8：观察图10的四阶幻方，除了行、列、对角线之和相等外，你还发现了什么性质？

问题9：杨辉构造的口诀“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺进”，对五阶幻方或七阶幻方适用吗？请你试一试？

设计意图：从古至今，人们对于幻方的研究都有着浓厚兴趣，中国古代数学家杨辉第一个系统地对幻方进行了研究，通过这一史料的介绍，能培养学生对中国古代数学文化辉煌的成就感到自豪，同时激发学生对数学的热爱. 其次，杨辉的四阶幻方有着十分优美的性质，它除了满足通常幻方的基本条件以外， 还满足关于中心对称的两个数之和相等. 这就使得幻方具有更高的对称性，能培养数学的审美.

5. 幻方蕴涵神奇的等式

数学是美的，幻方更美. 幻方以均衡对称、和谐统一的美的特性，给人一种醉人的艺术享受. 数学家陈省身说过：“在数学中，幻方是个奇迹. ”幻方是一个迷人的数字体系，它是数字按着一种规律布局成的. 如图12的三阶幻方，除了上述行、列、对角线之和相等外，还有下列美妙的等式：

4+9+2=8+1+6；42+92+22=82+12+62.

横向的等式：

492+357+816=294+753+618；4922+3572+8162=2942+7532+6182.

纵向的等式：

276+951+438=672+159+834；2762+9512+4382=6722+1592+8342.

斜向的等式：

456+312+897=654+213+798；4562+3122+8972=6542+2132+7982.

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问题10：若自然数满足：a■+b■+c■=a■+b■+c■，且a■+b■=a■+b■=c■+c■，结合上述等式，提出一个猜想，并说明理由.

设计意图：幻方充满着神奇的魅力，如果你喜欢，你还会发现独有的性质，如图13所示，2k的个位数字是2，4，8，6；3k的个位数字是1，3，9，7；5k的个位数字是5……可以说，幻方是数学中的宝库，通过欣赏幻方有趣的结构，数学中一些独特的规律会呈现出来，能把学生引向数学的各个秀丽的田野，开阔学生的眼界，启迪学生智慧，让学生欣赏到数学中各种奇异的规律美，使他们真正热爱数学学习.

6. 小结（略）

■ 挖掘“实验与探究”的几点做法

从教师方面看，有些教师认为“实验与探究”不属于考试内容，与所学内容无关，上与不上都不会影响教学质量，因此他们认为只要学生课后看看就可以了，根本没有必要引导学生研究、探讨和交流. 教师的这种态度必然会直接影响学生对该内容的使用，学生会以为教师不重视的“实验与探究”是不重要的，从而忽略材料的阅读.

从学生方面来看，由于受应试的影响，学生大部分的时间都用于应付老师布置的作业，对书本缺乏兴趣，再加上教师的不重视，很少顾及“实验与探究”的存在.

“实验与探究”是教材正文的补充和延伸，其内容能够揭示数学概念、法则和结论的发展过程和本质，体现了数学的文化价值，对培养学生自主探索、合作交流、阅读自学的学习方式有重大意义，也是重要的课程资源. 为了不让“实验与探究”成为摆设，充分发挥它们在教学中的作用，那么，怎样才能有效地利用其为我们的新课程改革增加效益呢？

1. 正确领会编者意图，加强知识间的横向联系

每一篇“实验与探究”都是编者精心挑选的，且有目的地安排在每册的各章、各节里，因此编者用意何在？这一篇材料的内容在知识层面上想达到什么目的？在能力立意上又要达到什么目的？例如，对于“幻方”，编者的意图是“让学生把一些正负数与0填入幻方，可以使学生巩固有理数加法的法则与运算律. 要使所填的数符合幻方的要求，还需要学生不断调试，探究其中的规律，使学生感受到数学知识的作用，培养思维的逻辑性和对数学的兴趣”.

为了贯彻编者这一意图，应着手对幻方这一“实验与探究”进行挖掘和拓展，促进学生逻辑思维的发展，增强其对数学的兴趣. 在方法上，可以采取从特殊到一般、从简单到复杂的方式增加条件的难度，如从1，2，3，…，9到-4，-3，-2，…，4；从特殊的等差到更一般“n，n+1，n+2，…，n+8”；能不能推广到分数？用素数填写可以吗？

从幻方的阶数方面考虑，三阶幻方共有多少种形式？各种形式之间的关系如何？四阶幻方存在吗？若存在，四阶幻方又应怎样填写？四阶幻方共有多少种不同的形式？五阶呢？存在着n阶幻方吗？奇数阶和偶数阶有哪些相同的性质？有哪些不同的性质？

当然，改变条件和结论会得到很多命题，有的命题或许可能很深奥，有待进一步探讨；有的问题则适合学生课堂探讨；有的命题是假命题，通过假设和反驳，能培养学生的质疑和批判性思维……

2. 查阅文献资料，挖掘“隐性知识”

“实验与探究”由于内容篇幅短小，有的篇幅是数学史上经过大浪淘沙，有的篇幅与学生实际生活非常密切，它们都具有较强的内隐性，背后有一个较大的数学场，这就要求我们教师不但要会从材料的显性层面上阅读和挖掘，更要借鉴文献资料，挖掘材料背后隐性的数学思维方法等，还原“实验与探究”的意义和价值.

例如，“幻方”“勾股定理”和“孙子定理”是中国古代数学三颗璀璨的明珠，通过查阅资料可以发现幻方的形式多种多样，有“素数幻方”“纪念性幻方”“黑洞数幻方”“水仙花数幻方”“菊花数幻方”“金蝉脱壳幻方”等奇妙的幻方；和幻方相类似或相近的有“幻圆”“幻立方”“优美图”“拉丁方”“幻形”等神奇有趣的内容；从数学家研究幻方来看，可以发现中国古代数学家杨辉是世界上第一个比较系统地研究高阶幻方，并给出填写三阶幻方口诀的人，这个口诀可以对奇数阶幻方进行推广；同时，查阅资料会发现，西方伟大的画家丢勒在他的铜版画《忧郁》中有一个四阶幻方；法国数学家巴赫特（Bachet）则对奇数阶幻方的构造普遍性进行研究.

正如数学史家汪晓勤所言，“在教学中辅以历史文本为师，适时引入古人原始的想法，撷取前人的智慧，乃至前人所犯的错误，相信对于数学思想的发展与学生的学习过程能有更贴近的牟合，也能让学生对数学有更全面的观照. 正是让学生在通过历史文本解决问题的过程中获得学习的乐趣. 因此，从这个层面去挖掘就是第二个层次，这样的挖掘可能都有意想不到的金矿等待挖掘，唯有辛勤发掘才可能使我们满载而归. ”从广义上，数学史是极为重要的数学文献之一.

3. 从“冰冷”到“火热”，感悟数学的精神和思想方法

？摇查阅文献，可以获得第一手资料，这些资料都是以学术形态的形式存在，有的离现实的学校数学课堂相距甚远，因此需要教师加工成教育形态，还“冰冷”为“火热”.

例如，在填“三阶幻方”时，中间为什么会填“5”，四个角落上为什么要只填“偶数”？能不能推广到更一般的等差数，那么四阶甚至更高阶的幻方又如何填写呢？挖掘数学背后的数学思想方法，在课堂上创设情境，再次感受曾经“火热”的心；再如中国古代数学家杨辉、近代数学史专家李俨、外国数学家欧拉、发明家富兰克林等许多卓越的学者都曾对幻方进行过潜心探讨；幻方也吸引了众多海内外的幻方兴趣爱好者，美国一个年仅13 岁的少年就做出了迄今为止阶数最高的一个105 阶幻方……为什么这么多人对幻方这样入迷？不仅是因为它传递着古老的神秘之美，还因为幻方以均衡对称、和谐统一的美的特性，给人一种醉人的艺术享受. 这一探究过程既是感悟数学思想形成的过程，也是发现数学之美的过程.

数学的思想方法和数学之美是沉默的，让学生体会数学知识背后数学思想文化的意涵，仅靠背诵、证明、应用公式是不能达到的. 只有教师精心组织和策划，才能让学生切身感受数学的精神和思想方法，再现数学之美.endprint