【摘 要】“应答评价”是一种重要的评价方法。巧用应答评价，通过推理与证明问题的探索过程，探讨教师如何在课堂教学中关注一切有用的信息，对发挥评价的改进作用、鼓励学生探究、关注教育目标的非预期效果、发展学生的创新能力都有很大的作用。

【关键词】应答评价;归纳推理;创新素养

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1005-6009（2015）18-0050-02

【作者简介】吕建林，南京市第一中学（江苏南京，210001）教师。

“应答评价”是美国学者斯塔克提出一种评价方法，这种方法的主要特点是强调评价要为一切与评价有关的人员提供有用的信息。如果教育评价更直接地指向方案的活动而非方案的内容，如果他能满足评价听取人对信息的需求，或者在反映方案得失、长短的评价报告中更能反映人们不同的价值观念，那么，这种评价即可称为“应答评价”。

新课程理念指导下的课堂教学的一大变革就是评价的变化。从过往关注结果的评价方式转向更加关注过程的诊断性评价和过程性评价，评价方式的变化增强了评价的有效性，对学生的发展也起着至关重要的作用。在一节“推理与证明”复习课上，一个学生的猜想不为其他同学所认可，而教师对这一猜想方式的评价引发了大家更多的思考，产生了一连串的新成果，激发了学生的学习热情，充分体现了教师对学生探究精神的关注、对学生创新素养的培育、对学生终身发展的关怀。回顾如下。

教师首先给出了一个例题：通过观察下列等式，猜想出一个一般性结论，并证明结论的真假。

sin230°+sin290°+sin2150°=■，

sin260°+sin2120°+sin2180°=■，

sin245°+sin2105°+sin2165°=■，

sin215°+sin275°+sin2135°=■。

有的学生观察出角之间的关系是一个以60°为公差的等差数列，于是写出这样的猜想结论：sin2（α-60°）+sin2α+sin2（α+60°）=■①。

证明如下：sin2（α-60°）+sin2α+sin2（α+60°）=（■sinα-■cosα）2+sin2α+（■sinα+■cosα）2=■sin2α+sin2α+■cos2α=■。大多数学生都得出了这个结论，但是教师在巡视过程中发现学生甲猜想出的结论不一样，他写的是sin2（α-β）+sin2α+sin2（α+β）=■，不少学生一听到这个结论就笑了起来，他们认为甲的猜想没有注意到题干中给出的四个式子中每一组角都是公差为60°的等差数列，所以甲的结论是错误的。

教师首先对大多数学生的结论表示肯定：我们观察出了题目中给出的四个式子有三个共同的特征：1.都是三个角的正弦值的平方和的形式;2.每个式子中给出的三个角都是以60°为公差的一个等差数列;3.每个式子的值都等于■。由此推出的结论①真实、全面地反映了上述三个特征，经推证，结论①也是正确的。

然后，教师对学生甲的结论进行点评，首先确定甲猜想的结论是一个假命题，其次肯定学生甲猜想的可取之处。归纳法是对观察、实验和调查所得的个别现象，概括出一般原理的一种思维方式和推理形式，其主要环节是归纳推理。归纳法是一种或然性推理方法，不可能做到完全归纳，总有许多对象没有包含在内。因此，结论不一定可靠。数学教育家费赖登塔尔说过，学习数学的唯一正确方法在于“再创造”。大家在获得了结论①以后，为什么没有进一步猜想，如果角的关系是一个一般的等差数列是否可行呢？学生甲的结论虽然后来证明发现不正确，但是这样的探究过程是有益的，探索的精神是值得肯定和赞扬的。做科学研究不是仅仅为了获取一个正确答案，而是为了探索未知的世界。

在教师的鼓励下，学生开始进一步深究，是否只有三个角的公差β=60°的时候学生甲的结论才成立呢？如果不是，那么β还可以取哪些值？

解：sin2（α-β）+sin2α+sin2（α+β）=sin2α+2cos2βsin2α+2sin2βcos2α=（1+2cos2β-2sin2β）sin2α+2sin2β

要使其为定值，那么1+2cos2β-2sin2β=0，cos2β=-■，即当β=kπ±■（k∈Z）时，sin2（α-β）+sin2α+sin2（α+β）=■②。

在大家认为这道题的研究可以告一段落的时候，又一名学生提出自己的猜想：如果把①式中的正弦改为余弦是否有类似的结论呢？

猜想：cos2（α-60°）+cos2α+cos2（α+60°）=■③，

学生纷纷议论，并着手推理，经推证发现结论成立。

有学生说，结论③也可以利用三角恒等式来证明，因为sin2α+cos2α=1，所以cos2（α-60°）+cos2α+

cos2（α+60°）+sin2（α-60°）+sin2α+sin2（α+60°）=3，

由sin2（α-60°）+sin2α+sin2（α+60°）=■，

可得cos2（α-60°）+cos2α+cos2（α+60°）=■。

进一步猜想，当β=kπ±■（k∈Z）时，cos2（α-β）+cos2α+cos2（α+β）=■④，成立吗？

学生从上面的推理过程可以看出，结论④当然也是正确的。

教师说：“很好。大家的推理让老师想到了波利亚讲过的一段话：好问题与蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，当你找到一个以后，很可能四周就有好几个。”此时，又一名学生站起来说：“老师，如果把原式改成4个成等差数列的角的正弦的平方和，会不会有新的结论呢？”于是继续探究：当β取何值时，sin2（α-3β）+sin2（α-β）+sin2（α+β）+sin2（α+3β）为定值。

解：sin2（α-3β）+sin2（α-β）+sin2（α+β）+sin2（α+3β）=2sin2α（cos6β+cos2β）+（sin23β+sin2β）

只要cos6β+cos2β=0，即cos2β=0或cos22β=■，原式的值与α无关，此时β=■+■或■+■（k∈Z），sin2（α-3β）+sin2（α-β）+sin2（α+β）+sin2（α+3β）=2⑤。

通过推理，学生自然得出了另一个结论：

当β=■+■或β=■+■（k∈Z）时，

cos2（α-3β）+cos2（α-β）+cos2（α+β）+cos2（α+3β）=2 ⑥。

……

从这一系列问题的推理过程可以看出，结论①是归纳推理的结果，不同的学生对题干中所给出的信息的理解程度不同，也因此产生了不同的推理结果，结论②的发现体现了学生甲思维的广阔性。教师在发现学生的不同结论后提出了一个问题，这个问题的探讨引起了学生对另外两个问题（即结论③、结论⑤）的探究，甚至更多的问题被提出和被解决。结论③是基于三角函数的名称改变提出的新问题，而结论⑤则是基于项数的增加而提出的新问题。这些改变，是与教师在发现学生甲的结论后启发学生探究的过程密切相关的。学生提出的结论④和结论⑥，也是在教师带领全班对学生甲的结论完善后，自己类比得出的。

类比是提出新问题和获得新发现的泉源。进行类比推理的关键是明确两类对象之间具有某些相似特征，而教师要做的事情是：创造必要的情境，通过及时恰当的评价激励，启发学生展开类比推理活动，提升数学思维的品质，培养创新能力。按照这样的路径，学生们自然会进一步推广，推导5个角乃至更多角时的结论。

创新素养从哪里来？从发现和肯定学生在探究过程中的那些微小的改进中来。如果我们在课堂教学中能善用应答评价，关注评价的价值取向，服务于评价对象的未来发展，也许就能有更多令人欣喜的发现。