班桂宁 陈科成 聂婷婷

(广西大学 数学与信息科学学院,广西 南宁530004)

扩张p6阶群的Φ37(16)家族为LA-群

班桂宁 陈科成 聂婷婷

(广西大学 数学与信息科学学院,广西 南宁530004)

首先运用群的扩张理论对p6阶群的Φ37(16)家族进行扩张,得到一类新的p-群,然后给出了它们的一些性质,最后验证了扩张得到的群是LA-群.

有限p-群;LA-猜想;LA-群;群的扩张;自由群

0 引言

时至今日,有限p-群与群的自同构[1]已经成为群论的基本概念.在有限非交换p-群中有一类特殊的有限p-群称之为LA-群,其具体定义是:p-群G的阶能整除其自同构Aut(G)的阶,即＞p2.俞曙霞与班桂宁教授在LA-群的研究上得到了大量有价值的结论,具体可参看参考文献[2]-[5].本文将根据Rodney James关于p2-p6阶的分类[6],针对p6阶群的Φ37家族进行群的有效扩张.基于所得的扩张形式,运用自由群理论证明扩张形式构成群.对新得到的p-群进行研究,得到新群的中心及中心群列等一些基本性质.最后利用中心内自同构的方法证明新群是LA-群.

1 基本公式与引理

公式1[7]设G是群,a,b,c∈G.则有

公式2[7]设G是群,a,b∈G且[a,b]∈Z(G),又设n是正整数.则有

公式3[7]设G是亚交换群,a,b∈G,m≥2,i,j是正整数,则

引理1[7]设G是有限p-群,若c(G)＜p,则G正则.

引理2[7]设G是有限群,则G的全体中心内自同构组成Aut(G)的子群,并且它和Z(G/Z(G))是同构的.

引理3[8]设G是PN-群,G/G′和Z(G)的不变型分别为m1≥m2≥…≥mt≥1和k1≥k2≥…≥ks≥1,则|Ac(G)|=pa,其中

2 定理及其证明

定理1 设:G=〈α,α1,α2,α3,α4,α5|[α1,α]=α2,[α2,α]=α3,[α3,α]=α4,[α2,α3],可证当G满足条件t1≥t2≥t3≥t4≥t5,t≥t2,t≥t3,t≥t4时G构成一个P-群,同时在这种扩充的情况下也必须满足t1≥t2≥t3≥t4≥t5,t≥t2,t≥t3,t≥t4.所以用群的表示方法可以直观记作:

证明:

(I)如果G已经是满足群的条件,[α1,α]=α2,[α2,α]=α3,[α3,α]=α4,[α2,所以:

α5,α1α4=.为了找出t,ti(1≤i≤5)的关系……