关红钧,聂 颖

(沈阳大学 师范学院,辽宁 沈阳 110044)

四维不定空间中的一类曲面

关红钧,聂 颖

(沈阳大学 师范学院,辽宁 沈阳 110044)

研究了四维伪双曲空间中的一类Marginally Trapped洛伦兹曲面,对具有平行平均曲率向量的这类曲面进行了分类,一共得到了6类曲面,为黑洞理论的研究提供了一定的理论支持.

洛伦兹曲面; Marginally Trapped 曲面; 平均曲率

具有平行平均曲率向量的子流形在微分几何、调和映射以及物理学中具有重要的作用.早在20世纪70年代,Chen分类了欧氏空间中具有平行平均曲率向量的曲面[1].在文献[2-3]中,伪欧氏空间中具有平行平均曲率向量的类空曲面被完全分类.由于洛伦兹曲面的度量是不定的,对其进行研究更复杂一些.伪欧氏空间中具有平行平均曲率向量的洛伦兹曲面已经被完全分类了,见文献[4-5].

1 预备知识

1.1 基本公式

(1)

(2)

式中,h,A和D分别为第二基本形式、形状算子以及法联络.第二基本形式h和形状算子A具有如下关系:

(3)

平均曲率为

Gauss方程和Codazzi方程分别为

(4)

记RD为法曲率张量:

则Ricci方程为

1.2 光 锥

1.3 活动标架

(5)

(6)

(7)

令ω(e1)=ω1,ω(e2)=ω2.类似地,存在一形式φ,使得:

(8)

1.4 引 理

g=-m2(x,y)(dx⊗dy+dy⊗dx).

其中,m(x,y)为正函数,且曲面的Levi-Civita联络为:

(9)

曲面的高斯曲率为

(1) φ=0,这意味着RD=0;

(2) 〈H,H〉是常数.

2 主要定理及其证明

(2) 曲率为-1的洛伦兹曲面,定义为

其中,p(y)是位于光锥LC中的曲线,q(y)是满足

的零曲线.

(3) 曲率为-1的洛伦兹曲面且位于

中,定义为

其中:

(6) 平坦的洛伦兹曲面,定义为

由于M具有平行平均曲率向量H,由引理2知

(10)

(11)

其中,α,β,γ,δ是实值函数,则:

(12)

由方程(11)和方程(12) ,得到

(13)

情况Ⅰ:K≠-1.

此时,α,β,δ,γ≠0.由式(7)和式(11)知Codazzi方……