徐良锋

众所周知，解决数学问题需要讲究一定的方法，方法得当，事半功倍，方法不当，事倍功半.而方法源自思想，没有思想也就没有方法.解决数学问题如果没有数学思想的指引就会迷失方向，无所作为；而有了数学思想的指引，解题就会思路更开阔，思维更活跃，方法更灵活.下面就运用数学思想解决绝对值问题略举几例，与大家共磋.

1.函数与方程的思想

例1若对任意的x1，x2∈[-1，1]，不等式|（x2-x1）（x21+x1x2+x22-3a）|≤1成立，求实数a的取值范围.

分析与求解此例比较容易想到讨论法，先去掉绝对值符号，再分离变量，进而求得a的最值范围，但这样求解十分繁琐，而在函数与方程思想指导下，通过构建函数，利用函数性质求解却十分简明.

不等式|（x2-x1）（x21+x1x2+x22-3a）|≤1可化为|x32-x31-3ax2+3ax1|≤1，令f（x）=x3-3ax，故原不等式等价于对任意的x1，x2∈[0-1，1]，|f（x2）-f（x1）|≤1恒成立.由于f ′（x）=3x2-3a，

（Ⅰ）当a≤0时，f ′（x）≥0，f（x）在x∈[-1，1]上单调递增，|f（1）-f（-1）|>1，不满足条件.

（Ⅱ）当a>0时，由f ′（x）=3x2-3a=0，得x=±a.

（1）当a>1即a>1时，

|f（x2）-f（x1）|max=f（-1）-f（1）=-2+6a，

由-2+6a≤1，得a≤12，这样的a不存在；

（2）当a≤1且f（-a）

|f（x2）-f（x1）|max=f（1）-f（-1）=2-6a，

由2-6a≤1可得a≥16，所以16≤a<14.

（3）当a≤1且f（-a）≥f（1）时，即a≥14，

|f（x2）-f（x1）|max=f（-a）-f（a）=4aa，

由4aa≤1可得：a≤4-23，所以14≤a≤4-23.

综上所述，实数a的取值范围为[16，344].

点评对于含有绝对值符号的不等式，当分离变量求参数的取值范围比较繁琐时，可以考虑构建函数，利用函数的性质进行求解与证明.

2.数形结合的思想

例2已知函数f（x）=ex-1，

-x2-2x，x≥0，

x<0，若关于x的方程f（x）=|x-a|有三个不同的实根，求实数a的取值范围.

分析与求解方程f（x）=|x-a|既不是简单的特殊方程，又不知其根的大小，故很难从方程中直接求得a的取值范围，故不妨利用数形结合的思想进行思考. 如图，直线y=x-a与函数y=f（x）=ex-1的图象在x≥0处有一个切点，切点坐标为（0，0），此时a=0；直线y=|x-a|与函数y=-x2-2x的图象在x<……