胡武强，张金良

(河南科技大学 数学与统计学院，河南 洛阳 471023)



推广的F/G-展开法及其应用

胡武强，张金良

(河南科技大学 数学与统计学院，河南 洛阳 471023)

首先推广了F/G-展开法，使之能应用于变系数微分方程的求解中。作为推广的F/G-展开法应用实例，本文在非对称势阱下，求解了(3+1)-维三次-五次 Gross-Pitaevskii 方程。导出了方程含有较多任意参数的双曲函数形式精确解、三角函数形式周期波解，得到了孤波的传播速度及啁啾随时间的变化规律。

(3+1)-维三次-五次Gross-Pitaevskii方程；F/G-展开法；精确解；传播速度；啁啾

0 引言

考虑如下形式的变系数Gross-Pitaevskii方程[1-5]：

(1)

本文首先介绍推广的F/G-展开法；然后，利用推广的F/G-展开法求解方程(1)；最后，得出结论。

1 F/G-展开法的推广

1.1 推广的F/G-展开法

推广的F/G-展开法描述如下。

假定一个变系数非线性方程为：

Ψ(u,ut,ux,utt,uxt,uxx,…)=0，

(2)

其中:u=u(x,t)是一个未知函数；Ψ是u(x,t)及其各阶偏导数的一个多项式且含有最高阶的偏导项、非线性项。

假设方程(2)的解可以用一个含(F/G)的多项式表示为：

(3)

其中:F=F(ξ)、G=G(ξ)满足线性常系数微分方程组

F′=λG，G′=μF，

(4)

其中：αm,αm-1,…,α0；p和q是只含t的函数；λ和μ是常数；ξ0是一个任意的常数；m由方程(2)中出现的最高阶偏导项、非线性项之间的齐次平衡确定[16-19]。

将式(3)代入到方程(2)，并利用微分方程组(4)，合并(F/G)同次幂，方程(2)的左边化成一个(F/G)的多项式，令该多项式的系数为零，得到一组关于αm、αm-1、…、α0、p、q以及常数λ和μ的非线性方程组。解该方程组并将所得结果代入式(3)中，利用式(4)的解，可得非线性方程(2)的精确解。

1.2 方程组(4)的精确解

情形1 若λ>0,μ>0,

情形2 若λ<0,μ<0,

情形3 若λ>0,μ<0,

情形4 若λ<0,μ>0,

2 求解变系数Gross-Pitaevskii方程

令

u……