聂文静，王 辉，胡志兴，廖福成

(北京科技大学 数理学院，北京 100083)



一类具有时滞和随机项的捕食-被捕食模型

聂文静，王 辉，胡志兴，廖福成

(北京科技大学 数理学院，北京 100083)

将环境中的白噪声和时滞考虑到含有Crowley-Martin 型功能反应函数的种群系统中，得到了一类具有时滞和随机项的捕食-被捕食模型。本文利用Lyapunov 函数和It公式得到模型的正均衡态必须满足某个条件才是全局渐近稳定的，而且常数时滞和一定范围内的白噪声对均衡解的全局渐近稳定性影响不大。

Crowley-Martin功能函数；时滞；高斯白噪声

0 引言

于是，得到下列系统：

(1)

1 主要结果

证明 令

F(x,y)=a12y/[(1+βx)(1+ry)]；

G(x(t-τ),y(t-τ))=a21x(t-τ)/[(1+βx(t-τ))(1+ry(t-τ))]。

其中：初值f0(θ)=lnx0(θ);g0(θ)=lny0(θ)。很明显，方程组(2)中两个方程满足局部Lipschitz条件，因此，存在唯一的局部解f(t)，g(t)定义在[-τ,te)[11]，te是爆炸时间,由It公式得ef(t)、eg(t)，满足任意给定的初值条件(x0,y0)∈系统(1)的解。

其中：K1,K2是正常数。上式两端由0到τm∧T(表示min(τm,T))积分并且取均值得到下面式子：

EV0(x(τm∧T),y(τm∧T))≤V0(x0,y0)+K1T+K2T。

综上所述得到：

EV0(x(τm∧T),y(τm∧T))+K1T+K2T≥E[1Ωm(ω)V0(x(τm),y(τm))]≥

其中：1Ωm是Ωm的指标函数。令m→∞时，∞>V0(x0,y0)+KT=∞，矛盾。因此完成证明。

引理1 对于方程dx(t)=g(x(t),t)dt+f(x(t),t)dB(t),如果存在x*∈Rn，满足当t>0时，g(x*,t)=0,f(x*,t)=0,那么称x*∈Rn是方程的均衡态。并且若有一个正定的函数V(x,t)，使得LV(x,t)负定，则方程的均衡态x*是全局渐近稳定[11]。

因此，系统(1)的均衡态(x*,y*)满足下列方程组：

(3)

证明 若系统(1)有正平衡点(x*,y*)，则方程组(3)一定存在一个正解(x*,y*)。由式(3)中的第一个方程得：

(4)

定义函数：

再定义函数：

所以当0

证明 定义：

V1(x)=x-x*-x*ln (x/x*),V2(y)=y-y*-y*ln (y/y*)。

由v-1-lnv≥0,v>0可得其正定性。

为了消除时滞的影响，定义如下非负函数:

其中：

(1+βx*)(1+ry*)(1+βx)(1+ry)>(1+βx)(1+ry)>(1+βx)>1。

现在定义:

V(t)=V1(x,y)+V2(x,y)+C1V3(t)+C2V4(t),

其中：

因此得到:

LV(t) =LV1(t)+LV2+C1LV3+C2LV4=

LV1(t)+L2V2+C1(x-x*)2+C2(y-y*)2-C1(x(t-τ)-x*)2-C2(y(t-τ)-y*)2≤

令

于是就得到:

由题意可得：当W<0，4WA-Q2>0时，在第一象限中除(x*,y*)外都有LV(x,y)<0。因此，完成定理证明。

2 数值模拟

用Milstein方法[12]模拟上述具有Crowley-Martin型功能反应的时滞随机的捕食-被捕食系统所得到的结果,为：