如何使数学比较好学？如何在数学教学的过程中培养学生的创新能力？

数学的概念和定理比较多，而且比较抽象，数学的证明要进行逻辑推理，做数学题需要掌握概念、定理和方法，这些使得不少学生感到数学比较难学。通常的数学教学一开始给出数学概念的定义，接着写出有关的定理，然后对定理进行证明。这种教学方式可以让学生学到数学的概念和定理，可以训练学生的逻辑推理能力。但是学生不知道概念是怎么提出来的，不知道定理是怎么发现的，因此培养不出学生的创新能力。本人根据四十多年的教学和科研工作的经验，用数学的思维方式教数学就可以既使数学比较好学，又可以在教学的过程中培养学生的创新能力。

数学的思维方式是一个全过程：观察客观现象，抓住主要特征，抽象出概念；提出要研究的问题，运用“解剖麻雀”、直觉、归纳、类比、联想和逻辑推理等进行探索，猜测可能有的规律；经过深入分析，只使用公理、定义和已经证明了的定理进行逻辑推理来严密论证，揭示出事物的内在规律，从而使纷繁复杂的现象变得井然有序。

用数学的思维方式教数学，我们的主要做法有以下几点。

1. 观察客观现象自然而然地引出概念，讲清楚为什么要引进这些概念

线性空间的概念是高等代数中最重要的概念之一。我们让学生观察几何空间（以定点O为起点的所有向量组成的集合）中有加法和数量乘法运算，并且满足8条运算法则；向量的坐标是3元有序实数组，为了用坐标来做向量的加法和数量乘法运算，很自然地在所有3元有序实数组组成的集合R^3中引进加法和数量乘法运算，并且也满足8条运算法则。几何空间是3维空间，时—空空间是4维空间。有没有维数大于4的空间？为了对数域K上的n元线性方程组直接从系数和常数项判断它有没有解和有多少解，从矩阵的初等行变换把线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵可以判断线性方程组的解的情况受到启发，很自然地在所有n元有序数组组成的集合K^n中引进加法和数量乘法运算，并且也满足8条运算法则。K^n就是一个n维空间。我们抓住几何空间，R^3，K^n的共同的主要特征：“有加法和数量乘法运算，并且满足8条运算法则”，便自然而然地引出了线性空间的概念。为了使线性空间为数学、自然科学和社会科学的研究提供广阔天地，需要把线性空间的结构搞清楚。

几何空间的结构是，任意取定3个不共面的向量，空间中任一向量都可以由它们线性表出，并且表示方式唯一。由此受到启发，对于线性空间V，如果有一族向量S使得V中每一个向量都可以由S中有限多个向量线性表出，并且S是线性无关的（这保证了表法唯一），那么称S是V的一个基。基是研究线性空间的结构的第一条途径。

几何空间中给了过定O的一个平面π和过定点O与π相交的一条直线l。在π上取两个不共线的向量d_1，d_2，在l上取一个非零向量d_3，则d_1，d_2，d_3是几何空间的一个基。于是几何空间的每一个向量可以唯一地表示成π上的一个向量与l上的一个向量的和。由此引出了线性空间V的子空间的直和的概念；猜测并且证明了线性空间V等于它的若干个子空间V_1，… ，V_m的直和当且仅当V_1的一个基，…， V_m的一个基合起来是V的一个基。直和分解是研究线性空间的结构的第二条途径。

几何空间的每一个向量对应于它在给定的一个基下的坐标是几何空间到R^3的一个双射，并且它保持加法和数量乘法运算。由此受到启发，引出了线性空间的同构的概念；猜测并且证明了数域K上的n维线性空间都与K^n同构。线性空间的同构是研究线性空间的结构的第三条途径。

几何空间J中给了过定点O的一个平面0，则与0平行或重合的所有平面给出了几何空间J的一个划分。由此受到启发，数域K上的线性空间V中，给了一个子空间W，在V上建立一个二元关系：β～α当且仅当β-α∈W。容易证明这是V上的一个等价关系。于是所有等价类组成的集合就给出了V的一个划分，这个集合也称为V对于W的商集，记作V/W。在V/W中可以规定加法和数量乘法运算，并且满足8条运算法则，从而V/W成为数域K上的一个线性空间，称它为V对于W的商空间。几何空间J中与过定点O的平面0平行或重合的所有平面组成的集合是J对于0的商空间。过点O作与0相交的一条直线l，则把与0平行或重合的每一个平面对应于这个平面与l的交点是商空间J/0到直线l的一个双射，并且它保持加法和数量乘法运算，从而商空间J/0与直线l同构。于是

dim（J/0） = dim l = 1 = 3-2 = dim J - dim0.

由此受到启发，我们猜测并且证明了对于数域K上的n维线性空间V有

dim（V/W） = dim V –dim W.

这使得我们可以利用数学归纳法证明线性空间中有关被商空间继承的性质的结论。

在商空间J/0中取一个基 +0，令l是过点O且方向为 的直线，则J=0⊕l。由此受到启发，我们猜测并且证明了对于数域K上的线性空间V和它的一个子空间W，如果商空间V/W有一个基1+W，…，t+W，令U是由V中的向量组1，…，t生成的子空间，那么V= W⊕U，并且1，…，t是U的一个基。这表明只要商空间V/W是有限维的，并且知道了商空间V/W的一个基，那么线性空间V就有一个直和分解式。

上述两方面表明商空间是研究线性空间的结构的第四条途径。

2. 提出要研究的问题，探索并且论证可能有的规律

高等代数研究的一个重要问题是对于域F上n维线性空间V上的线性变换Α，能不能找到V的一个基，使得Α在此基下的矩阵具有最简单的形式？

我们用类比的方法证明了此时Α有有理标准形。这样我们就彻底解决了域F上n维线性空间V上的线性变换Α的最简单形式的矩阵表示的问题。

3. 通过“解剖麻雀”，讲清楚数学的深刻理论是怎么想出来的

伽罗瓦在1829 ～ 1831年间彻底解决了一元n次方程是否可用根式求解的问题。他给出了方程可用根式求解的充分必要条件，创立了深刻的理论（后人称之为伽罗瓦理论），由此引发了代数学的革命性变化。古典代数学以研究方程的根为中心。伽罗瓦理论创立以后，代数学转变为以研究各种代数系统的结构及其态射（即保持运算的映射）为中心，由此创立了近世代数学（也称为抽象代数学）。

伽罗瓦发现并且证明了这个结论，现在称它为伽罗瓦基本定理（这里没有写出伽罗瓦基本定理的其它3个结论）。伽罗瓦运用这个基本定理证明了方程根式可解的判别准则。

4. 抓住主线，全局在胸，科学地安排讲授体系

高等代数课程的主线是研究线性空间及其态射（即线性映射）。为了自然而然地引出线性空间的概念，《高等代数》（丘维声著，科学出版社）的第一章讲线性方程组的解法和解的情况的判定；第二章讲行列式，给出了n个方程的n元线性方程组有唯一解的充分必要条件；第三章为了对数域K上的n元线性方程组直接从系数和常数项判断它有没有解和有多少解，在所有n元有序数组组成的集合K^n中引进加法和数量乘法运算，它们满足8条运算法则，我们抓住几何空间， K^n的共同的主要特征自然而然地引出了线性空间的概念，然后去研究线性空间的结构。讲完线性空间之后，一种讲法是立即讲线性映射。但是研究线性映射一方面是从映射的角度讲线性映射的运算，线性映射组成的集合的结构，以及线性映射的核与像；另一方面是研究线性映射的矩阵表示，特别是研究线性变换的最简单形式的矩阵表示。因此我们在第四章讲矩阵的运算，既为研究线性映射打下基础，又为信息时代迅速崛起的离散数学中应用越来越广泛的矩阵加强了矩阵的分块、矩阵的打洞的训练。为了研究线性变换的最简单形式的矩阵表示，需要用到一元多项式环的通用性质，因此我们在第五章讲一元多项式环的结构及其通用性质，并且水到渠成地引出了环和域的概念。第六章讲线性映射（包括线性变换和线性函数）。为了在线性空间中引进度量概念，第七章讲双线性函数，并且用到研究二次型上。第八章讲具有度量的线性空间，以及与度量有关的变换。第九章讲n元多项式环。

解析几何课程的主线是研究几何空间的线性结构和度量结构，在此基础上并且用变换的观点研究图形的性质和分类。

近世代数课程的主线是研究代数系统（群，环，域，模）的结构及其态射（即保持运算的映射）。群论的主线是群同态；环论的主线是环的理想；域论的主线是域扩张，其目标是伽罗瓦理论。

5. 精心设计板书，清晰体现思维过程

这样讲课和板书是提出了问题，引导学生去探索，从几何空间的例子，猜测出子空间的维数公式，然后才去证明。这有利于培养学生的创新能力。

以上是我们在几十年的教学中用数学的思维方式教数学的一些做法，与老师们交流。

[责任编辑：李文玲]