张 晓 盼

(沈阳工业大学理学院数学系,辽宁 沈阳 110870)

四个顶点的1-正则图

张 晓 盼

(沈阳工业大学理学院数学系,辽宁 沈阳 110870)

讨论共轭类长素图是不连通的n个顶点不完全正则图时有限群结构问题，并给出当共轭类长素图是4个顶点的1-正则图时，利用GAP软件得到所对应群的群结构和共轭类长集。

共轭类长素图；正则图；有限群

1 引 言

有限群理论无论从理论本身还是实际应用而言都占据着突出的地位[1]。在1994年G.Alfandary给出有限群G，则有：(1)共轭类长素图的连通分支n(Γ*(G))最多是2。(2)如果n(Γ*(G))=2，则G为可解群[2]。1995年S.Dolfi得出,群G是有限群,如果共轭类长素图Γ*(G)是连通的，则diam(Γ*(G))≤3;如果共轭类长素图Γ*(G)是不连通的，则它的每一个连通分支都是完全图[3]。观察有限群的发展历史可以知道,有限群的一些数量信息与其结构紧密相连。在有限群理论的研究中,关于群的共轭类长的素因子相关的一些算数特性与该群的性质和结构具有什么样的关系,一直都是群论研究中非常重要的课题[4]。共轭类元素的研究是探讨群结构的一个十分有意义的方法。共轭类的长度及其素因子的相关算术量在有限群理论的研究中占有重要地位。本文从共轭类长的素因子入手，把共轭类长素因子与图论结合起来，研究共轭类长素图是两个连通分支的1-正则图，给出所对应群的群结构和共轭类长集特点。

2 基础知识和主要引理

2.1 符号说明

以下规定：图Γ*是由有限非空集合V及其二元子集E构成，其中V中元素称为顶点，E中元素称为边;集合V和E分别称为顶点集和边集。u,v∈V，如果u和v在图中有边，就称u和v在图中是邻接的;如果图Γ*的任何2个不同的顶点都是邻接的,则称Γ*是完全的;如果Γ*包含一条u-v路，那么就称u和v是连通的;如果对于Γ*中每对不同顶点u,v,Γ*都包含一条u-v路,那么Γ*为连通的;若Γ*的一个连通子图不是Γ*的其他任何连通子图的真子图,则称它为Γ*的一个连通分支,那么图Γ*称为不连通的;n(Γ*)表示类长素图的连通分支。连通图Γ*的所有顶点之间的最大距离称为Γ*的直径,记为diam(Γ*)[5]。

2.2 相关定义及引理

定义1[6]对于有限群G中任意的2个元素a,b,称其在G中是共轭的,如果有另一元素g∈G,使得ag=b成立。这样,就可以把群G中的元素按照共轭的关系划分为k个都不相交的等价类,这个等价类叫共轭类。任一共轭类Ci中所包含元素的个数|Ci|叫做这个共轭类Ci的长度。

定义2 类长素图Γ*(G)是满足下面条件的无向图:

(1)以ρ*(G)中的素数为顶点;

(2)如果2个顶点p和q之间有一条边相连,当且仅当这2个素数的乘积pq整除Cl(G)中的某一元素b。

引理1[8]如果p、q是共轭类长素图的两个不相邻的顶点，则群G要么是p-幂零群，要么是q-幂零群,NG(P)=CG(P)或者NG(Q)=CG(Q)其中p∈Sp(G)Q∈Sq(G)。

引理2[2]有限群G，则有(1)共轭类长素图的连通分支n(Γ*(G))最多是2。(2)如果n(Γ*(G))=2，则G为可解群。(3)如果G是非交换的单群，则n(Γ*(G))=1;群G，如果共轭类长素图Γ*是不连通的，当且仅当群G是拟-Frobenius群，有可交换的核和补。

引理3[9]可解群G，如果共轭类长素图有两个连通分支，而且n和N表示2个连通分支里2个素因子的阶(n≤N)，则n≥2n-1。

引理4[10]如果p是一个给定的素数且整除每个(不等于1的)共轭类长度,那么CG(P)≤Z(G),此处P是G的Sylowp-子群。

下面将讨论共轭类长素图是非完全图2个连通分支的正则图情况。

3 主要结论

定理2 在2000阶以内，4个顶点的1-正则图所对应的群的非中心共轭类长只有6和91，即群的共轭类长集为{1,6,91}。最小阶为546阶的群为(C91∶C3)∶C2，当阶大于546时的群为Cn×((C91∶C3)∶C2)。而且这样的图对应的群结构是2-平衡的D-群。

证明 由定理1并结合GAP,按素因子个数分别验证，得到以下群例：

SmallGroup(546,11),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):(C91∶C3)∶C2;

SmallGroup(1092,48),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):C2×((C91∶C3)∶C2);

SmallGroup(1638,39),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):C3×((C91∶C3)∶C2);

SmallGroup(2730,31),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):C5×((C91∶C3)∶C2);

SmallGroup(3276,187),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):C6×((C91∶C3)∶C2);

SmallGroup(3822,28),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):C7×((C91∶C3)∶C2);

SmallGroup(5460,128),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):C10×((C91∶C3)∶C2);

SmallGroup(6006,39),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):C11×((C91∶C3)∶C2);

SmallGroup(7098,44),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):C13×((C91∶C3)∶C2);

SmallGroup(30030,75),Cl(G)={6,91},

StructureDescription(g):C55×((C91∶C3)∶C2)

4 总 结

本文讨论共轭类长素图是不完全图并且有两个连通分支的正则图所对应群结构，得到n个顶点不完全的正则图的群结构并给出这样的群是n/2-平衡的D-群，以及当共轭类长素图是4个顶点2个连通分支的1-正则图时的群结构和共轭类长集特点。

[1]张远达.有限群构造(上册)[M].北京：科学出版社，1982：20-93.

[2]Alfandary G.On graphs related to conjugacy classes of groups[J].Isreal J Math,1994,86:211-220.

[3]Dolfi S.Arithmetical conditions on the length of the conjugacy classes of a finite group[J].J Algebra,1995,174:753-771.

[4]Beltran A,Felipe M J.Corrigendum:Some class size conditions implying solvability of finite groups[J].J Group Theory,2011,14:783-784.

[5]范益政,汪毅.图论导引[M].北京:人民邮电出版社,2007：1-75.

[6]徐明曜.有限群导引(上册)[M].2版.北京:科学出版社,1999：60-130.

[7]Casolo C,Dolfi S.Groups whose prime graph on conjugacy class sizes has few complete vertices[J].J Algebra,2012,364:1-12.

[8]Ito N.On finite groups with given conjugate types I[J].Nagoya Math J,1953,6:17-28.

[9]Lewis M L.An overview of graphs associated with character degrees and conjugacy class sizes in finite groups[J].J Math,2008,38:175-211.

[10]Chillag D，Herzog M.On the length of the conjugacy classes of finite group[J].J Algebra 1990,131(01):110-125.

[责任编辑：郑秀亮 英文编辑：刘彦哲]

1-Regular Graph of Four Vertices

ZHANG Xiao-pan

(Department of Mathematics,College of Sciences,Shenyang Industrial University,Shenyang,Liaoning 110870,China)

The structure problem of finite groups whose prime graph on conjugacy class sizes are disconnected and incomplete regular graph withnvertices is discussed.The paper gives the prime graph of conjugacy class sizes when it is 1-regular graph of four vertices,and GAP software is used to get the structure problem of finite groups and the set of elements of the conjugacy classes.

prime graph of conjugacy class sizes;regular graph;finite group

张晓盼(1989-)，女，河北邯郸人，在读硕士生，主要从事基础数学，群论方向的研究。

O 152.1

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2015.06.001

来稿日期：2015-06-28