导数在高中数学题目解答中的典型性应用研究

2015-03-01张秀梅

新教育时代电子杂志(学生版) 2015年35期

关键词：典型性端点切线

张秀梅

（江西省兴国县第四中学江西兴国 342418）

导数在高中数学题目解答中的典型性应用研究

张秀梅

（江西省兴国县第四中学江西兴国 342418）

导数作为近几年的高考热点，越来越受到教师和学生的重视。但是导数作为热点重点的同时，它也是许多学生眼中的难点。因此，在高中导数的学习中，要求学生要掌握其基本内涵，理清函数关系。本文就在导数的涵义基础上，对其典型性应用进行论述。

导数高中数学题目解答不等式函数

在高中数学课程中，导数一直都充当中非常重要的角色。它不仅有利于学生更好地理解函数，而且能够帮助学习者更好地掌握函数思想。特别是在近年的高考和模拟中，都把导数作为一个热点进行考察。但是对于许多学生来说，导数的学习既是重点也是难点，那么如何将导数灵活地运用于数学题目地解答中，成为导数教学的重中之重。［1］

一、导数涵义概述

早在17世纪，法国数学家费马就发现了导数。经过几百年的发展，直到19世纪60年代以后，导数的定义才初具雏形并趋向成熟。那么什么是导数呢，导数其实是导函数的简称，具体是指：如果函数y=f（x）在开区间I内每一点都可导，就称函数f（x）在区间I内可导。这时函数y=f（x）对于区间I内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原函数y=f（x）的导函数，记作y’，f’（x），dy/dx，df（x）/dx，简称导数。

二、导数在高中数学题目解答中的典型性应用

1.函数求最值

高中数学中的函数求最值问题是考试的热点和重点，在没有进行导数学习时，对于函数最值得求解，也是有多种方法，比如配方法、换元法、不等式法、函数单调性法、平方法、数形结合法、线性规划法等，但与上述方法相比，利用导数求解会更加简洁明了。例如，函数f（x）=x3+3x+1在闭区间［-3，0］上的最大值、最小值分别是多少？这是一道非常基础的最值问题，因此它的解题思路就是先求闭区间上的函数的极值，再与端点函数值进行大小比较，最终确定最值。因此，对于该题的解法如下：因为f’（x）=3x2-3，所以令f’（x）=0，得到x=1（舍去）。又因为f（-3）=-17，f（-1）=3，f（0）=1，由比较可得，f（x）的最大值为3，最小值为-17。对于利用导数求解函数最值，一般有三个步骤：首先是求函数在（a，b）内的极值；其次是求函数在端点的函数值，即f（a）和f（b）。最后是比较上述极值与端点函数值的大小，求得函数的最值。［2］

2.判断函数的单调性

判断函数的单调性，也可以叫做判断函数的增减性，在教学上一般采用定义法。但是定义法常用来进行一些简单函数单调性的判断，而对于一些复杂的函数，如果利用定义法就会非常繁琐。因此，可以尝试用导数进行函数单调性的判断。例如，函数f（x）=-x3+1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明。这是一道比较典型的函数单调性判断题，它的证明如下：设x1、x2∈（-∞，+∞），x1＜x2，则。因为x1＜x2，所以，所以f（x1）＞f（x2），函数f（x）=-x3+1在（-∞，+∞）是减函数，由此可得函数f（x）在R上具有单调性。

3.解决切线问题

对于切线问题的解决，这主要是应用导数的几何意义。一般而言解决切线问题的基本步骤是设切点求出切线方程，然后根据题意代入条件，并利用代数求解，最后得出结论。例如，已知函数f（x）=x3-3x（x∈R）的图像为曲线C，曲线C的切线L经过点A（2，2），求切线L的方程。该题的解法如下：设切点为（t，t3-3 t），切线L的斜率为k=3 t2-3，切线方程为y-（t3-3t）=（ 3 t2-3）（xt）。因为L过点A（2，2），所以2-（t3-3t）=（ 3 t2-3）（ 2-t），即t3-3 t2+4=0，解得t=2或t=-1。所以，当t=2时，L：9x-y-16=0；当t=-1时，L：y=2。综上可得，切线L的方程为y=2或9x-y-16=0。

4.证明不等式

导数除了用于讨论函数的各项性质之外，它的另一项广泛应用就是证明不等式。特别是近年来的高考题中，把不等式的证明放在越来越重要的位置上。而利用导数证明不等式，通常要构造函数，通过研究函数的单调性和最值来证明。例如：已知a＞ln2-1，求证：当x＞0时，ex＞x2-2ax+1。此题解法如下，证明：设f（x）=ex-x2-2ax+1，x＞0。则f’（x）=ex-2x+2a，设g（x）=f’（x），g’（x）= ex-2，当0＜x＜ln2时，g’（x）＜0；当x＞ln2，g’（x）＞0。即g（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增。所以g（x）min=g（ln2）=eln2-2 ln2+2a=2（1-ln2+a）。因为a＞ln2-1，所以g（x）min＞0，g（x）=f’（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增。因此当x＞0时f（x）＞f（0）=0，即ex＞x2-2ax+1。