杨春艳 吉 恒

(1.玉溪师范学院 理学院,云南 玉溪 653100；2.通海县第二中学,云南 通海 652701)

［物 理］

薛定谔方程中分离变量常数的确定

杨春艳1吉 恒2

(1.玉溪师范学院 理学院,云南 玉溪 653100；2.通海县第二中学,云南 通海 652701)

薛定谔方程；分离变量；常数

现行原子物理教材和量子力学教材中,在由含时薛定谔方程推导定态薛定谔方程时存在仅以“以E表示这个常量”作为分离变量常数取粒子能量的阐述,这是不够严谨的。为此,如果能对其进行简单但严密的数学推理,则可弥补其存在的这一不足之处。

德布罗意的物质波假设得到实验验证后,为解决物质波概率的空间分布及此分布随时间如何变化的问题,薛定谔在其导师拜德：“有了波,就应有一个波动方程”［1］的启示下,于1926年提出了薛定谔方程,其简要过程如下。

而对于自由粒子,其波函数为

类比于波动现象,应存在一个波动方程,它既要与式(1)一致,又要在V=0时其解为式(2)。于是联立(1)、(2)得

上式即为一般粒子的含时薛定谔方程。当粒子所处力场的势能为V=V)(定态)时,上式左、右两侧显然分别只是对空间和时间的运算,故可取分离变量式

代(4)入(3)得

显然,(5)中的分离变量常数C1应为一个既不依赖于时间,也不依赖于空间的常数。现行原子物理教材［1～2］和量子力学教材［3］中讲到此处时,均以“以E表示这个常量,其中E为粒子的能量”［3］进行描述,而未进行严密的逻辑验证,此种处理方式显然是缺乏说服力的,这体现了现行教材中的逻辑漏洞。

为弥补上述不足,授课时可作如下简单但严密的数学推理：