孙吉森

摘 要：数学题千变万化，可它无论怎样变化，同类题型总是紧密联系的。因此，不论是解题还是听老师讲题，都不要死学死记，而要学会联系和变通，把学到的东西变化一下，想想会有怎样的结论产生。只有这样你才能真正理解，真正掌握。

关键词：数学学习；联系和变通；善于思考

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）23-330-01

很多学生在学习全等三角形和轴对称这两章时都认为不好学，老师讲时觉得很简单，可轮到自己去解答时，又总觉得它很陌生，无从插手，找不到任何解题思路，自己又不明白问题出在什么地方。是自己没有天赋，还是学习方法有问题。确实这两章内容较多，课程标准中图形的性质、图形的变化、图形与坐标各部分的内容都有涉及。但如果学习时我们注意把握各部分内容之间的联系，有机地进行整合，学好这两章并不是很难的事情。要学好它，关键要看你的方法是否得当，学好这两章最关键的是要学会思考不同题型之间的联系。数学题千变万化，可它无论怎样变化，同类题型总是紧密联系的。因此，不论是解题还是听老师讲题，都不要死学死记，而要学会联系和变通，把学到的东西变化一下，想想会有怎样的结论产生。只有这样你才能真正理解，真正掌握。

教材上有这样一道题。已知如图（1）△ABD△AEC都是等边三角形，求证：BE=DC 对于这道题的解答，一般学生都能比较顺利地解答出来。通过证明△ABE≌△ADC从而得到所要的结论。

可同学们几乎都只是为了解题而解题，并不去进一步深入地思考一下，如图（2）如果把△ABC和△AEC都是等边三角形变为都是等腰直角三角形，那么BE和DC还相等吗？其实变化后的题目结论依然成立，解题思路与原题相同，还是通过证明△ABE≌△ADC从而得到BE=DC。

我们还可以做其他方面的变化，如改变原题中两个等边三角形的位置，再思考一下，题中的结论是否发生变化，让等边三角形ACE绕顶点A旋转，在转动过程中，BE和CD是否保持相等还是有所变化？其实我们不难发现，在转动中BE和CD一直保持相等。

不妨我们对它们的一个特殊位置再作进一步的研究，如图（3）既当AB、AC在同一直线时，我们还能得出什么结论呢？如果AD与BE的交点为F，AE与CD的交点为G，能否证明三角形AFG是等边三角形。这个结论的证明较前几个结论的证明难度要大一些，因运用的知识相对多一些，学生通过三角形全等不难证出AF等于AG，再求∠FAG的度数为60°，很显然△AFG是等边三角形。

如果我们能想到这些变形后，学生掌握的就不再是一道简单的几何题了，而是把所学知识系统化，综合化了。再遇类似题型就不会觉得陌生和无从下手了。如我们再进一步深入研究，就会取得更好的效果，并且还会获得无穷的乐趣，那就达到最好的学习效果。如在上图中，我们连接AH，我么会发现∠FHA和∠GHA可能会相等，那到底等不等，能不能证明呢？假设他是相等的，一般我们是用三角形全等来证明角等，那能不能找到含∠FHA和∠GHA的一对全等三角形呢，你会发现这样的一对三角形不存在。那我们就得需要自己构造全等的三角形或者利用角平分线性质定理的逆定理来证明∠FHA和∠GHA相等。因此，不妨试试过点A分别做BE、CD的垂线，垂足为M、N，这样就构造了全等的三角形△AHM和△AHN，但直接证明它们全等的条件还不具备。

我们进一步观察又会发现，图中还有△ABM和△ADN， △AEM和△ACN全等，这两组全等三角形是很容易用角角边证明的，从而得出AN和AM相等。这样，我们再证明△AHM和△AHN全等条件就具备了，很显然∠FHA和∠GHA相等就得到证明了。其实我们也可以不证明△AHM和△AHN全等，而利用角平分线性质定理逆定理的性质得出∠FHA和∠GHA相等。

问题思考到这里，你几乎会对本章的知识甚至是这部分的知识进行了系统的梳理，不仅让知识得以熟悉，更重要的是让知识得以深刻理解和熟练运用。因此，你不再是把各部分知识零散记忆，而是让各部分知识有机地联系在一起，并且能灵活地运用到实际问题中去，从而达到真正的融会贯通。你也不会觉得数学是单调枯燥的东西了。

其实，数学的趣味性在很大程度上体现在它的多变性上。我们遇到问题时，有时思考的是问题的多变，有时思考的是解题的多变。例如图（4），在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE、DF分别垂直于AB和AC，垂足分别是点E和点F，请问DE、DF与△ABC腰上的高CG有什么关系？

对于这个问题，我们容易猜到DE+DF=CG。那怎么来解答这个问题呢？一般思路是截长法或补短法，也就是说，我们可以把CG截成两段，然后证明它们与DE、DF分别相等。或者把DE、DF补成一条线段，然后证明它与CG相等。其实，这两种思路对解答这个问题都不太简单。