蔡丽娟

摘 要：“数”和“形”是数学中两个最基本的对象，它们既是对立的，又是统一的。

关键词：数学；数形结合

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）23-296-01

“数”和“形”是数学中两个最基本的对象，它们既是对立的，又是统一的。每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形作出直观的反映和描述。数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来。可以说，数形结合是一柄双刃的解题利剑，那么如何进行有效的数形转换呢？

一、由数到形的转换途径

1、借助函数图像实现数形结合

方程与不等式问题常可转化为两个函数图像的交点或位置关系的问题，并借助函数的图像和性质解决相关问题。

例1（2013年天津高考试题）已知函数 ，设关于x的不等式 的解集为A，若 ，则实数a的取值范围是

（A） （B）

（C） （D）

解：显然 为奇函数，且 ，

当 时，根据图形知 的解集为空集，不符合题意。当 时，如图所示，

则当 时，由 得

。故选A。

点评：本题综合考查了函数的奇偶性，单调性，对称性，以及由函数图像解答不等式问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题。

2、借助数与式的结构实现数形结合

许多等式或代数式都具有明显的几何意义，例如可利用平面向量的数量积及模的性质来寻求数式的几何性质等。

3、借助曲线与方程的对应关系实现数形结合

即利用解析几何中的曲线与方程的关系、重要的公式（如两点间的距离、点到直线的距离、直线的斜率、直线的截距）、定义（如平面区域）等来谋求数式的图形背景及有关性质。……